Страница 33 номер 2.2.32, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Представить в виде многочлена: 1) \((m + n)^3\); 2) \((c + d)^3\); 3) \((a - b)^3\); 4) \((k - l)^3\); 5) \((a - 3)^3\); 6) \((b - 2)^3\); 7) \((c - 4)^3\); 8) \((d - 5)^3\); 9) \((2x + 1)^3\); 10) \((1 + 3x)^3\); 11) \(\left(2 - \frac{a}{2}\right)^3\); 12) \(\left(3 - \frac{b}{3}\right)^3\).
1) \((m + n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3\);
2) \((c + d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3\);
3) \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\);
4) \((k - l)^3 = k^3 - 3k^2l + 3kl^2 - l^3\);
5) \((a - 3)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 3 + 3a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27\);
6) \((b - 2)^3 = b^3 - 3b^2 \cdot 2 + 3b \cdot 2^2 - 2^3 = b^3 - 6b^2 + 12b - 8\);
7) \((c - 4)^3 = c^3 - 3c^2 \cdot 4 + 3c \cdot 4^2 - 4^3 = c^3 - 12c^2 + 48c - 64\);
8) \((d - 5)^3 = d^3 - 3d^2 \cdot 5 + 3d \cdot 5^2 - 5^3 = d^3 - 15d^2 + 75d - 125\);
9) \((2x + 1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\);
10) \((1 + 3x)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot 3x + 3 \cdot 1 \cdot (3x)^2 + (3x)^3 = 1 + 9x + 27x^2 + 27x^3\);
11) \(\left(2 - \frac{a}{2}\right)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \frac{a}{2} + 3 \cdot 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^3 = 8 - 6a + \frac{3a^2}{2} - \frac{a^3}{8}\);
12) \(\left(3 - \frac{b}{3}\right)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot \frac{b}{3} + 3 \cdot 3 \cdot \left(\frac{b}{3}\right)^2 - \left(\frac{b}{3}\right)^3 = 27 - 9b + b^2 - \frac{b^3}{27}\).
Ответ: 1) \(m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3\); 2) \(c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3\); 3) \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\); 4) \(k^3 - 3k^2l + 3kl^2 - l^3\); 5) \(a^3 - 9a^2 + 27a - 27\); 6) \(b^3 - 6b^2 + 12b - 8\); 7) \(c^3 - 12c^2 + 48c - 64\); 8) \(d^3 - 15d^2 + 75d - 125\); 9) \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\); 10) \(1 + 9x + 27x^2 + 27x^3\); 11) \(8 - 6a + \frac{3a^2}{2} - \frac{a^3}{8}\); 12) \(27 - 9b + b^2 - \frac{b^3}{27}\).
Представить в виде многочлена: 1) \((m + n)^3\); 2) \((c + d)^3\); 3) \((a - b)^3\); 4) \((k - l)^3\); 5) \((a - 3)^3\); 6) \((b - 2)^3\); 7) \((c - 4)^3\); 8) \((d - 5)^3\); 9) \((2x + 1)^3\); 10) \((1 + 3x)^3\); 11) \(\left(2 - \frac{a}{2}\right)^3\); 12) \(\left(3 - \frac{b}{3}\right)^3\).
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения; в кубе разности второе и четвёртое слагаемые берутся со знаком минус:
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]
1) \((m + n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3\);
2) \((c + d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3\);
3) \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\);
4) \((k - l)^3 = k^3 - 3k^2l + 3kl^2 - l^3\);
5) \((a - 3)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 3 + 3a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27\);
6) \((b - 2)^3 = b^3 - 3b^2 \cdot 2 + 3b \cdot 2^2 - 2^3 = b^3 - 6b^2 + 12b - 8\);
7) \((c - 4)^3 = c^3 - 3c^2 \cdot 4 + 3c \cdot 4^2 - 4^3 = c^3 - 12c^2 + 48c - 64\);
8) \((d - 5)^3 = d^3 - 3d^2 \cdot 5 + 3d \cdot 5^2 - 5^3 = d^3 - 15d^2 + 75d - 125\);
9) \((2x + 1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\);
10) \((1 + 3x)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot 3x + 3 \cdot 1 \cdot (3x)^2 + (3x)^3 = 1 + 9x + 27x^2 + 27x^3\);
11) \(\left(2 - \frac{a}{2}\right)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \frac{a}{2} + 3 \cdot 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^3 = 8 - 6a + \frac{3a^2}{2} - \frac{a^3}{8}\);
12) \(\left(3 - \frac{b}{3}\right)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot \frac{b}{3} + 3 \cdot 3 \cdot \left(\frac{b}{3}\right)^2 - \left(\frac{b}{3}\right)^3 = 27 - 9b + b^2 - \frac{b^3}{27}\).
Ответ: 1) \(m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3\); 2) \(c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3\); 3) \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\); 4) \(k^3 - 3k^2l + 3kl^2 - l^3\); 5) \(a^3 - 9a^2 + 27a - 27\); 6) \(b^3 - 6b^2 + 12b - 8\); 7) \(c^3 - 12c^2 + 48c - 64\); 8) \(d^3 - 15d^2 + 75d - 125\); 9) \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\); 10) \(1 + 9x + 27x^2 + 27x^3\); 11) \(8 - 6a + \frac{3a^2}{2} - \frac{a^3}{8}\); 12) \(27 - 9b + b^2 - \frac{b^3}{27}\).
