Страница 32 номер 2.2.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
(Устно.) Дополнить выражение одночленом так, чтобы полученный трёхчлен можно было представить в виде квадрата суммы или квадрата разности: 1) \(a^2 + 8a + \ldots\); 2) \(b^2 - 14b + \ldots\); 3) \(m^2 + \ldots + 4\); 4) \(n^2 - \ldots + 16\); 5) \(4x^2 - \ldots + 25y^2\); 6) \(9x^2 + \ldots + 4y^2\); 7) \(\ldots + 2a^2b + b^2\); 8) \(\ldots - 2c^3b + b^2\).
1) \(8a = 2 \cdot a \cdot 4\), пропущен одночлен \(4^2 = 16\): \(a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\);
2) \(14b = 2 \cdot b \cdot 7\), пропущен одночлен \(7^2 = 49\): \(b^2 - 14b + 49 = (b - 7)^2\);
3) \(4 = 2^2\), пропущен одночлен \(2 \cdot m \cdot 2 = 4m\): \(m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2\);
4) \(16 = 4^2\), пропущен одночлен \(2 \cdot n \cdot 4 = 8n\): \(n^2 - 8n + 16 = (n - 4)^2\);
5) \(4x^2 = (2x)^2\) и \(25y^2 = (5y)^2\), пропущен одночлен \(2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy\): \(4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2\);
6) \(9x^2 = (3x)^2\) и \(4y^2 = (2y)^2\), пропущен одночлен \(2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy\): \(9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2\);
7) \(2a^2b = 2 \cdot a^2 \cdot b\), первое выражение равно \(a^2\), пропущен одночлен \((a^2)^2 = a^4\): \(a^4 + 2a^2b + b^2 = (a^2 + b)^2\);
8) \(2c^3b = 2 \cdot c^3 \cdot b\), первое выражение равно \(c^3\), пропущен одночлен \((c^3)^2 = c^6\): \(c^6 - 2c^3b + b^2 = (c^3 - b)^2\).
Ответ: 1) \(a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\); 2) \(b^2 - 14b + 49 = (b - 7)^2\); 3) \(m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2\); 4) \(n^2 - 8n + 16 = (n - 4)^2\); 5) \(4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2\); 6) \(9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2\); 7) \(a^4 + 2a^2b + b^2 = (a^2 + b)^2\); 8) \(c^6 - 2c^3b + b^2 = (c^3 - b)^2\).
(Устно.) Дополнить выражение одночленом так, чтобы полученный трёхчлен можно было представить в виде квадрата суммы или квадрата разности: 1) \(a^2 + 8a + \ldots\); 2) \(b^2 - 14b + \ldots\); 3) \(m^2 + \ldots + 4\); 4) \(n^2 - \ldots + 16\); 5) \(4x^2 - \ldots + 25y^2\); 6) \(9x^2 + \ldots + 4y^2\); 7) \(\ldots + 2a^2b + b^2\); 8) \(\ldots - 2c^3b + b^2\).
В трёхчлене \(a^2 + 2ab + b^2\) и в трёхчлене \(a^2 - 2ab + b^2\) крайние члены — квадраты выражений \(a\) и \(b\), а средний член — их удвоенное произведение. Поэтому, когда даны оба крайних члена, пропущено удвоенное произведение выражений, квадраты которых стоят по краям; когда даны квадрат одного выражения и удвоенное произведение, пропущен квадрат второго выражения. Знак среднего члена трёхчлена — удвоенного произведения — показывает, получится квадрат суммы или квадрат разности.
1) \(8a = 2 \cdot a \cdot 4\), поэтому пропущен одночлен \(4^2 = 16\): \(a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\);
2) \(14b = 2 \cdot b \cdot 7\), поэтому пропущен одночлен \(7^2 = 49\): \(b^2 - 14b + 49 = (b - 7)^2\);
3) \(4 = 2^2\), поэтому пропущен одночлен \(2 \cdot m \cdot 2 = 4m\): \(m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2\);
4) \(16 = 4^2\), поэтому пропущен одночлен \(2 \cdot n \cdot 4 = 8n\): \(n^2 - 8n + 16 = (n - 4)^2\);
5) \(4x^2 = (2x)^2\) и \(25y^2 = (5y)^2\), поэтому пропущен одночлен \(2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy\): \(4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2\);
6) \(9x^2 = (3x)^2\) и \(4y^2 = (2y)^2\), поэтому пропущен одночлен \(2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy\): \(9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2\);
7) \(2a^2b = 2 \cdot a^2 \cdot b\), значит, первое выражение равно \(a^2\) и пропущен одночлен \((a^2)^2 = a^4\): \(a^4 + 2a^2b + b^2 = (a^2 + b)^2\);
8) \(2c^3b = 2 \cdot c^3 \cdot b\), значит, первое выражение равно \(c^3\) и пропущен одночлен \((c^3)^2 = c^6\): \(c^6 - 2c^3b + b^2 = (c^3 - b)^2\).
Ответ: 1) \(a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\); 2) \(b^2 - 14b + 49 = (b - 7)^2\); 3) \(m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2\); 4) \(n^2 - 8n + 16 = (n - 4)^2\); 5) \(4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2\); 6) \(9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2\); 7) \(a^4 + 2a^2b + b^2 = (a^2 + b)^2\); 8) \(c^6 - 2c^3b + b^2 = (c^3 - b)^2\).
