Страница 28 номер 2.1.20, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях \(a\) верны следующие неравенства (равенства): 1) \(a^{-2} < a^2\); 2) \(a^{-3} < a^3\); 3) \(a^{-4} \ge a^4\); 4) \(a^{-5} \ge a^5\); 5) \(a^{-6} = a^6\); 6) \((a - 1)^{-8} = (1 - a)^{-8}\); 7) \((1 - a)^{-4} = (a - 1)^4\).
\(b^{-n} = \frac{1}{b^n}\) при \(b \ne 0\), то есть \(b^n\) и \(b^{-n}\) взаимно обратны, и сравнить их — значит сравнить число с обратным ему.
При \(x > 1\): \(\frac{1}{x} < x\); при \(0 < x < 1\): \(\frac{1}{x} > x\); при \(x < -1\): \(\frac{1}{x} > x\); при \(-1 < x < 0\): \(\frac{1}{x} < x\); при \(x = 1\) и при \(x = -1\) число и обратное ему совпадают.
1) Степень \(a^2\) положительна, а \(a^{-2}\) — обратное к ней число, поэтому неравенство верно при \(a^2 > 1\), то есть при \(|a| > 1\). Значит, \(a < -1\) или \(a > 1\).
2) Степень \(a^3\) имеет тот же знак, что и \(a\). При \(a > 0\) неравенство верно при \(a^3 > 1\), то есть при \(a > 1\); при \(a < 0\) — при \(-1 < a^3 < 0\), то есть при \(-1 < a < 0\). Значит, \(-1 < a < 0\) или \(a > 1\).
3) Степень \(a^4\) положительна, поэтому неравенство верно при \(a^4 \leqslant 1\), то есть при \(|a| \leqslant 1\) и \(a \ne 0\). Значит, \(-1 \leqslant a < 0\) или \(0 < a \leqslant 1\).
4) Степень \(a^5\) имеет тот же знак, что и \(a\). При \(a > 0\) неравенство верно при \(a^5 \leqslant 1\), то есть при \(0 < a \leqslant 1\); при \(a < 0\) — при \(a^5 \leqslant -1\), то есть при \(a \leqslant -1\). Значит, \(a \leqslant -1\) или \(0 < a \leqslant 1\).
5) Степень \(a^6\) положительна и совпадает с обратным ей числом \(a^{-6}\) только при \(a^6 = 1\), то есть при \(|a| = 1\). Значит, \(a = -1\) или \(a = 1\).
6) \(1 - a = -(a - 1)\), показатель 8 чётный, поэтому \((1 - a)^8 = (a - 1)^8\) и \((1 - a)^{-8} = (a - 1)^{-8}\). Обе части равны при всех \(a\), при которых они имеют смысл, то есть при \(a - 1 \ne 0\). Значит, \(a \ne 1\).
7) По той же причине \((1 - a)^{-4} = (a - 1)^{-4}\) — число, обратное числу \((a - 1)^4\). Положительное число совпадает с обратным ему только тогда, когда оно равно 1, поэтому \((a - 1)^4 = 1\), откуда \(|a - 1| = 1\): \(a - 1 = -1\) или \(a - 1 = 1\). Значит, \(a = 0\) или \(a = 2\).
Ответ: 1) \(a < -1\), \(a > 1\); 2) \(-1 < a < 0\), \(a > 1\); 3) \(-1 \leqslant a < 0\), \(0 < a \leqslant 1\); 4) \(a \leqslant -1\), \(0 < a \leqslant 1\); 5) \(a = -1\), \(a = 1\); 6) \(a \ne 1\); 7) \(a = 0\), \(a = 2\).
Установить, при каких значениях \(a\) верны следующие неравенства (равенства): 1) \(a^{-2} < a^2\); 2) \(a^{-3} < a^3\); 3) \(a^{-4} \ge a^4\); 4) \(a^{-5} \ge a^5\); 5) \(a^{-6} = a^6\); 6) \((a - 1)^{-8} = (1 - a)^{-8}\); 7) \((1 - a)^{-4} = (a - 1)^4\).
Степень с целым отрицательным показателем определена только при основании, отличном от нуля.
По определению \(b^{-n} = \frac{1}{b^n}\) при \(b \ne 0\), то есть степени \(b^n\) и \(b^{-n}\) — взаимно обратные числа, и сравнить их — значит сравнить число с обратным ему.
Пусть \(x\) — положительное число: при \(x > 1\) имеем \(\frac{1}{x} < 1 < x\); при \(0 < x < 1\) имеем \(x < 1 < \frac{1}{x}\); при \(x = 1\) число и обратное ему совпадают. Пусть \(x\) — отрицательное число: при \(x < -1\) имеем \(-1 < \frac{1}{x} < 0\), то есть \(\frac{1}{x} > x\); при \(-1 < x < 0\) имеем \(\frac{1}{x} < -1\), то есть \(\frac{1}{x} < x\); при \(x = -1\) число и обратное ему совпадают.
Кроме того, \(\left|b^n\right| = |b|^n\), а произведение нескольких одинаковых положительных множителей больше 1 тогда и только тогда, когда сам множитель больше 1. Поэтому \(\left|b^n\right| > 1\) при \(|b| > 1\), \(\left|b^n\right| = 1\) при \(|b| = 1\) и \(\left|b^n\right| < 1\) при \(0 < |b| < 1\). Знак степени при чётном показателе положителен, а при нечётном совпадает со знаком основания.
1) Степень \(a^2\) положительна, а \(a^{-2}\) — обратное к ней число, поэтому неравенство \(a^{-2} < a^2\) верно при \(a^2 > 1\), то есть при \(|a| > 1\). Значит, \(a < -1\) или \(a > 1\).
2) Степень \(a^3\) имеет тот же знак, что и \(a\). При \(a > 0\) неравенство \(a^{-3} < a^3\) верно при \(a^3 > 1\), то есть при \(a > 1\); при \(a < 0\) оно верно при \(-1 < a^3 < 0\), то есть при \(-1 < a < 0\). Значит, \(-1 < a < 0\) или \(a > 1\).
3) Степень \(a^4\) положительна, поэтому неравенство \(a^{-4} \geqslant a^4\) верно при \(a^4 \leqslant 1\), то есть при \(|a| \leqslant 1\) и \(a \ne 0\). Значит, \(-1 \leqslant a < 0\) или \(0 < a \leqslant 1\).
4) Степень \(a^5\) имеет тот же знак, что и \(a\). При \(a > 0\) неравенство \(a^{-5} \geqslant a^5\) верно при \(a^5 \leqslant 1\), то есть при \(0 < a \leqslant 1\); при \(a < 0\) оно верно при \(a^5 \leqslant -1\), то есть при \(a \leqslant -1\). Значит, \(a \leqslant -1\) или \(0 < a \leqslant 1\).
5) Степень \(a^6\) положительна, и совпадает она с обратным ей числом \(a^{-6}\) только тогда, когда \(a^6 = 1\), то есть когда \(|a| = 1\). Значит, \(a = -1\) или \(a = 1\).
6) Так как \(1 - a = -(a - 1)\), а показатель 8 чётный, то \((1 - a)^8 = (a - 1)^8\) и \((1 - a)^{-8} = \frac{1}{(1 - a)^8} = \frac{1}{(a - 1)^8} = (a - 1)^{-8}\). Обе части равны при всех значениях \(a\), при которых они имеют смысл, то есть при \(a - 1 \ne 0\). Значит, \(a \ne 1\).
7) По той же причине \((1 - a)^{-4} = (a - 1)^{-4}\), то есть в левой части стоит число, обратное числу \((a - 1)^4\) из правой части. Положительное число совпадает с обратным ему только тогда, когда оно равно 1, поэтому \((a - 1)^4 = 1\), откуда \(|a - 1| = 1\): \(a - 1 = -1\) или \(a - 1 = 1\). Значит, \(a = 0\) или \(a = 2\).
Ответ: 1) \(a < -1\), \(a > 1\); 2) \(-1 < a < 0\), \(a > 1\); 3) \(-1 \leqslant a < 0\), \(0 < a \leqslant 1\); 4) \(a \leqslant -1\), \(0 < a \leqslant 1\); 5) \(a = -1\), \(a = 1\); 6) \(a \ne 1\); 7) \(a = 0\), \(a = 2\).
