Страница 28 номер 2.1.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Число учащихся одной школы ежегодно увеличивалось на \(20\ \%\) в течение четырёх лет. 1) Увеличилось ли оно более чем в 2 раза за 4 года? 2) Какое наименьшее число школьников могло быть в этой школе первоначально?
Дано:
\(20\ \%\) — на столько увеличивалось число учащихся каждый год
4 года — время увеличения
Найти: 1) увеличилось ли число учащихся более чем в 2 раза за 4 года; 2) наименьшее возможное первоначальное число школьников.
Решение:
1) Увеличение на \(20\ \%\) — умножение на \(1{,}2\), за 4 года — на \(1{,}2^4\):
\[1{,}2^4 = \left(1{,}2^2\right)^2 = 1{,}44^2 = 2{,}0736.\]
\(2{,}0736 > 2\) — число учащихся увеличилось более чем в 2 раза.
2) Пусть \(N\) — первоначальное число школьников. \(1{,}2 = \frac{6}{5}\), поэтому за 4 года оно стало \(N \cdot \frac{6^4}{5^4} = N \cdot \frac{1296}{625}\).
Число школьников натуральное, поэтому \(1296N\) делится на 625, а \(1296 = 2^4 \cdot 3^4\) и \(625 = 5^4\) не имеют общих простых множителей, значит, на 625 делится само \(N\). Наименьшее такое \(N\) — 625.
Проверка: \(625 \cdot 1{,}2 = 750\), \(750 \cdot 1{,}2 = 900\), \(900 \cdot 1{,}2 = 1080\), \(1080 \cdot 1{,}2 = 1296\) — все числа натуральные.
Ответ: 1) да, за четыре года число учащихся увеличилось в \(2{,}0736\) раза, то есть более чем в 2 раза; 2) наименьшее возможное первоначальное число школьников — 625.
Число учащихся одной школы ежегодно увеличивалось на \(20\ \%\) в течение четырёх лет. 1) Увеличилось ли оно более чем в 2 раза за 4 года? 2) Какое наименьшее число школьников могло быть в этой школе первоначально?
Дано:
\(20\ \%\) — на столько увеличивалось число учащихся каждый год
4 года — время увеличения
Найти: 1) увеличилось ли число учащихся более чем в 2 раза за 4 года; 2) наименьшее возможное первоначальное число школьников.
Решение:
1) Увеличение на \(20\ \%\) означает умножение на \(1{,}2\): новое число учащихся составляет \(100\ \% + 20\ \% = 120\ \%\) прежнего, а \(120\ \% = 1{,}2\). За четыре года число учащихся умножилось на \(1{,}2^4\):
\[1{,}2^4 = \left(1{,}2^2\right)^2 = 1{,}44^2 = 2{,}0736.\]
Так как \(2{,}0736 > 2\), за четыре года число учащихся увеличилось более чем в 2 раза.
2) Пусть первоначально в школе было \(N\) школьников. Так как \(1{,}2 = \frac{6}{5}\), за четыре года это число умножилось на \(\left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{6^4}{5^4} = \frac{1296}{625}\) и стало равным \(N \cdot \frac{1296}{625}\).
Число школьников в каждом году выражается натуральным числом, поэтому произведение \(1296N\) должно делиться на 625. Числа \(1296 = 2^4 \cdot 3^4\) и \(625 = 5^4\) не имеют общих простых множителей, значит, на 625 делится само \(N\). Наименьшее натуральное число, кратное 625, — это 625.
Проверка: \(625 \cdot 1{,}2 = 750\), \(750 \cdot 1{,}2 = 900\), \(900 \cdot 1{,}2 = 1080\), \(1080 \cdot 1{,}2 = 1296\) — все четыре года число школьников выражается натуральным числом.
Ответ: 1) да, за четыре года число учащихся увеличилось в \(2{,}0736\) раза, то есть более чем в 2 раза; 2) наименьшее возможное первоначальное число школьников — 625.
