Страница 27 номер 2.1.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Последние цифры в записи натуральных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) различны. А последняя цифра в числе \(a^k + b^n + c^s + d^t\) одна и та же при любых натуральных \(k\), \(n\), \(s\), \(t\). Какая это цифра?
Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания.
Если бы две степени числа \(a\) оканчивались разными цифрами, то при разных \(k\) и прежних \(n\), \(s\), \(t\) сумма оканчивалась бы разными цифрами. Значит, все степени каждого из чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) оканчиваются одной и той же цифрой.
Так бывает только у чисел с последней цифрой 0, 1, 5 или 6: \(0 \cdot 0 = 0\), \(1 \cdot 1 = 1\), \(5 \cdot 5 = 25\), \(6 \cdot 6 = 36\), и каждое следующее умножение снова оставляет последнюю цифру прежней.
У остальных цифр квадрат оканчивается уже другой цифрой: \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\), \(7^2 = 49\), \(8^2 = 64\), \(9^2 = 81\).
Подходящих цифр ровно четыре, а последние цифры чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) различны, поэтому это цифры 0, 1, 5 и 6 в каком-то порядке.
\(0 + 1 + 5 + 6 = 12\) — сумма оканчивается цифрой 2.
Например, при \(a = 10\), \(b = 11\), \(c = 15\), \(d = 16\) сумма оканчивается цифрой 2 при любых натуральных показателях.
Ответ: 2.
Последние цифры в записи натуральных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) различны. А последняя цифра в числе \(a^k + b^n + c^s + d^t\) одна и та же при любых натуральных \(k\), \(n\), \(s\), \(t\). Какая это цифра?
Последняя цифра произведения определяется только последними цифрами множителей, поэтому последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания.
Если бы две какие-нибудь степени числа \(a\) оканчивались разными цифрами, то, меняя только показатель \(k\) и оставляя \(n\), \(s\), \(t\) прежними, мы получили бы у суммы разные последние цифры. Значит, каждое из чисел \(a^k\), \(b^n\), \(c^s\), \(d^t\) оканчивается одной и той же цифрой при любом натуральном показателе.
Если число оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6, то той же цифрой оканчивается и его квадрат: \(0 \cdot 0 = 0\), \(1 \cdot 1 = 1\), \(5 \cdot 5 = 25\), \(6 \cdot 6 = 36\). Каждое следующее умножение на это же число снова оставляет последнюю цифру прежней, поэтому все степени такого числа оканчиваются одной и той же цифрой.
Для остальных цифр последняя цифра квадрата уже другая: \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\), \(7^2 = 49\), \(8^2 = 64\), \(9^2 = 81\), — такие числа не подходят.
Значит, числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) могут оканчиваться только цифрами 0, 1, 5, 6. Последние цифры этих четырёх чисел различны, а подходящих цифр ровно четыре, поэтому числа оканчиваются цифрами 0, 1, 5 и 6 (в каком-то порядке). Последняя цифра суммы определяется последними цифрами слагаемых, а \(0 + 1 + 5 + 6 = 12\), поэтому сумма \(a^k + b^n + c^s + d^t\) оканчивается цифрой 2.
Например, при \(a = 10\), \(b = 11\), \(c = 15\), \(d = 16\) сумма \(10^k + 11^n + 15^s + 16^t\) оканчивается цифрой 2 при любых натуральных \(k\), \(n\), \(s\), \(t\).
Ответ: 2.
