Страница 27 номер 2.1.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях \(c\) имеет смысл степень: 1) \(2^c\); 2) \((-3)^c\); 3) \(c^5\); 4) \(c^{-5}\); 5) \(c^{\frac{1}{2}}\); 6) \(c^{-\frac{1}{2}}\); 7) \(c^{\frac{1}{3}}\); 8) \(c^{-\frac{1}{3}}\).
1) Основание 2 положительно, показатель может быть любым: \(2^c\) имеет смысл при любом \(c\) — целом и дробном;
2) основание \(-3\) отрицательно, показатель может быть только целым: \((-3)^c\) имеет смысл при любом целом \(c\);
3) показатель 5 — натуральное число: \(c^5\) имеет смысл при любом \(c\);
4) \(c^{-5} = \frac{1}{c^5}\), а знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, поэтому \(c \ne 0\);
5) показатель дробный и положительный, поэтому основание неотрицательно: \(c \geqslant 0\);
6) \(c^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{c}}\): основание неотрицательно и знаменатель отличен от нуля, поэтому \(c > 0\);
7) показатель дробный и положительный, поэтому основание неотрицательно: \(c \geqslant 0\);
8) \(c^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{c}}\): основание неотрицательно и знаменатель отличен от нуля, поэтому \(c > 0\).
Ответ: 1) при любом \(c\) — целом и дробном; 2) при любом целом \(c\); 3) при любом \(c\); 4) при \(c \ne 0\); 5) при \(c \geqslant 0\); 6) при \(c > 0\); 7) при \(c \geqslant 0\); 8) при \(c > 0\).
Установить, при каких значениях \(c\) имеет смысл степень: 1) \(2^c\); 2) \((-3)^c\); 3) \(c^5\); 4) \(c^{-5}\); 5) \(c^{\frac{1}{2}}\); 6) \(c^{-\frac{1}{2}}\); 7) \(c^{\frac{1}{3}}\); 8) \(c^{-\frac{1}{3}}\).
Степень с натуральным показателем определена при любом основании. Степень с нулевым и с целым отрицательным показателем определена только при основании, отличном от нуля: \(c^{-n} = \frac{1}{c^n}\), а делить на нуль нельзя.
Степень с дробным показателем определяют только для неотрицательного основания: при \(c > 0\) полагают \(c^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{c^m}\), а при \(c = 0\) и положительном показателе считают \(0^{\frac{m}{n}} = 0\). Для отрицательного основания такая степень смысла не имеет: один и тот же показатель можно записать и как \(\frac{1}{3}\), и как \(\frac{2}{6}\), а для основания \(-8\) получились бы разные значения \(\sqrt[3]{-8} = -2\) и \(\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2\).
1) Основание 2 положительно, поэтому показатель может быть любым — и целым, и дробным: степень \(2^c\) имеет смысл при любом \(c\);
2) основание \(-3\) отрицательно, поэтому показатель может быть только целым: степень \((-3)^c\) имеет смысл при любом целом \(c\);
3) показатель 5 — натуральное число, поэтому степень \(c^5\) имеет смысл при любом \(c\);
4) \(c^{-5} = \frac{1}{c^5}\), а знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, поэтому \(c \ne 0\);
5) показатель дробный и положительный, поэтому основание неотрицательно: \(c \geqslant 0\) (при \(c > 0\) имеем \(c^{\frac{1}{2}} = \sqrt{c}\), а при \(c = 0\) получаем \(0^{\frac{1}{2}} = 0\));
6) показатель дробный и отрицательный: \(c^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{c}}\), а здесь основание неотрицательно и знаменатель дроби отличен от нуля, поэтому \(c > 0\);
7) показатель дробный и положительный, поэтому основание неотрицательно: \(c \geqslant 0\) (при \(c > 0\) имеем \(c^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{c}\), а при \(c = 0\) получаем \(0^{\frac{1}{3}} = 0\));
8) показатель дробный и отрицательный: \(c^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{c}}\), а здесь основание неотрицательно и знаменатель дроби отличен от нуля, поэтому \(c > 0\).
Ответ: 1) при любом \(c\) — целом и дробном; 2) при любом целом \(c\); 3) при любом \(c\); 4) при \(c \ne 0\); 5) при \(c \geqslant 0\); 6) при \(c > 0\); 7) при \(c \geqslant 0\); 8) при \(c > 0\).
