Страница 26 номер 2.1.10, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Представить в виде степени с наибольшим натуральным показателем: 1) \(m^{16}n^{10}\); 2) \(a^{24}b^{20}\); 3) \(\frac{k^{15}}{n^9}\); 4) \(\frac{c^{30}}{d^{36}}\); 5) \(a^4 b^8 c^{12}\); 6) \(k^{21} n^{12} m^{15}\); 7) \(\frac{b^{42} c^{30}}{d^{18}}\); 8) \(\frac{p^{16}}{q^{24} n^{40}}\).
1) \(m^{16}n^{10} = (m^8)^2 \cdot (n^5)^2 = (m^8n^5)^2\) — наибольший общий делитель 16 и 10 равен 2;
2) \(a^{24}b^{20} = (a^6)^4 \cdot (b^5)^4 = (a^6b^5)^4\) — наибольший общий делитель 24 и 20 равен 4;
3) \(\frac{k^{15}}{n^9} = k^{15}n^{-9} = (k^5)^3 \cdot (n^{-3})^3 = (k^5n^{-3})^3\) — наибольший общий делитель 15 и 9 равен 3;
4) \(\frac{c^{30}}{d^{36}} = c^{30}d^{-36} = (c^5)^6 \cdot (d^{-6})^6 = (c^5d^{-6})^6\) — наибольший общий делитель 30 и 36 равен 6;
5) \(a^4b^8c^{12} = a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4 = (ab^2c^3)^4\) — наибольший общий делитель 4, 8 и 12 равен 4;
6) \(k^{21}n^{12}m^{15} = (k^7)^3 \cdot (n^4)^3 \cdot (m^5)^3 = (k^7n^4m^5)^3\) — наибольший общий делитель 21, 12 и 15 равен 3;
7) \(\frac{b^{42}c^{30}}{d^{18}} = b^{42}c^{30}d^{-18} = (b^7)^6 \cdot (c^5)^6 \cdot (d^{-3})^6 = (b^7c^5d^{-3})^6\) — наибольший общий делитель 42, 30 и 18 равен 6;
8) \(\frac{p^{16}}{q^{24}n^{40}} = p^{16}q^{-24}n^{-40} = (p^2)^8 \cdot (q^{-3})^8 \cdot (n^{-5})^8 = (p^2q^{-3}n^{-5})^8\) — наибольший общий делитель 16, 24 и 40 равен 8.
Ответ: 1) \((m^8n^5)^2\); 2) \((a^6b^5)^4\); 3) \((k^5n^{-3})^3\); 4) \((c^5d^{-6})^6\); 5) \((ab^2c^3)^4\); 6) \((k^7n^4m^5)^3\); 7) \((b^7c^5d^{-3})^6\); 8) \((p^2q^{-3}n^{-5})^8\).
Представить в виде степени с наибольшим натуральным показателем: 1) \(m^{16}n^{10}\); 2) \(a^{24}b^{20}\); 3) \(\frac{k^{15}}{n^9}\); 4) \(\frac{c^{30}}{d^{36}}\); 5) \(a^4 b^8 c^{12}\); 6) \(k^{21} n^{12} m^{15}\); 7) \(\frac{b^{42} c^{30}}{d^{18}}\); 8) \(\frac{p^{16}}{q^{24} n^{40}}\).
Произведение степеней с одинаковым показателем равно степени произведения: \(a^kb^k = (ab)^k\). Общим показателем можно взять любой делитель всех показателей, поэтому наибольший показатель — это наибольший общий делитель показателей всех множителей. Дробь предварительно записывается произведением: \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\).
1) \(m^{16}n^{10} = (m^8)^2 \cdot (n^5)^2 = (m^8n^5)^2\) — наибольший общий делитель чисел 16 и 10 равен 2;
2) \(a^{24}b^{20} = (a^6)^4 \cdot (b^5)^4 = (a^6b^5)^4\) — наибольший общий делитель чисел 24 и 20 равен 4;
3) \(\frac{k^{15}}{n^9} = k^{15}n^{-9} = (k^5)^3 \cdot (n^{-3})^3 = (k^5n^{-3})^3\) — наибольший общий делитель чисел 15 и 9 равен 3;
4) \(\frac{c^{30}}{d^{36}} = c^{30}d^{-36} = (c^5)^6 \cdot (d^{-6})^6 = (c^5d^{-6})^6\) — наибольший общий делитель чисел 30 и 36 равен 6;
5) \(a^4b^8c^{12} = a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4 = (ab^2c^3)^4\) — наибольший общий делитель чисел 4, 8 и 12 равен 4;
6) \(k^{21}n^{12}m^{15} = (k^7)^3 \cdot (n^4)^3 \cdot (m^5)^3 = (k^7n^4m^5)^3\) — наибольший общий делитель чисел 21, 12 и 15 равен 3;
7) \(\frac{b^{42}c^{30}}{d^{18}} = b^{42}c^{30}d^{-18} = (b^7)^6 \cdot (c^5)^6 \cdot (d^{-3})^6 = (b^7c^5d^{-3})^6\) — наибольший общий делитель чисел 42, 30 и 18 равен 6;
8) \(\frac{p^{16}}{q^{24}n^{40}} = p^{16}q^{-24}n^{-40} = (p^2)^8 \cdot (q^{-3})^8 \cdot (n^{-5})^8 = (p^2q^{-3}n^{-5})^8\) — наибольший общий делитель чисел 16, 24 и 40 равен 8.
Ответ: 1) \((m^8n^5)^2\); 2) \((a^6b^5)^4\); 3) \((k^5n^{-3})^3\); 4) \((c^5d^{-6})^6\); 5) \((ab^2c^3)^4\); 6) \((k^7n^4m^5)^3\); 7) \((b^7c^5d^{-3})^6\); 8) \((p^2q^{-3}n^{-5})^8\).
