Страница 24 номер 1.3.37, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Вычислить: \[\left(\frac{2}{\sqrt{3} - 1} + \frac{3}{\sqrt{3} - 2} + \frac{18}{3 - \sqrt{3}}\right) \cdot (\sqrt{3} + 8)^{-1}.\]
Дроби в скобках:
\[\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1;\]
\[\frac{3}{\sqrt{3} - 2} = \frac{3\left(\sqrt{3} + 2\right)}{3 - 4} = -3\sqrt{3} - 6;\]
\[\frac{18}{3 - \sqrt{3}} = \frac{18\left(3 + \sqrt{3}\right)}{9 - 3} = 9 + 3\sqrt{3}.\]
В скобках:
\[\sqrt{3} + 1 - 3\sqrt{3} - 6 + 9 + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} + 4.\]
Так как \(\left(\sqrt{3} + 4\right)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3} + 4}\), всё выражение равно
\[\left(\sqrt{3} + 4\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3} + 4} = 1.\]
Ответ: 1.
Вычислить: \[\left(\frac{2}{\sqrt{3} - 1} + \frac{3}{\sqrt{3} - 2} + \frac{18}{3 - \sqrt{3}}\right) \cdot (\sqrt{3} + 8)^{-1}.\]
Каждая дробь в скобках освобождается от иррациональности в знаменателе: числитель и знаменатель умножаются на выражение, сопряжённое знаменателю. Дроби в скобках равны
\[\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1;\]
\[\frac{3}{\sqrt{3} - 2} = \frac{3\left(\sqrt{3} + 2\right)}{3 - 4} = -3\sqrt{3} - 6;\]
\[\frac{18}{3 - \sqrt{3}} = \frac{18\left(3 + \sqrt{3}\right)}{9 - 3} = 9 + 3\sqrt{3}.\]
Выражение в скобках равно
\[\sqrt{3} + 1 - 3\sqrt{3} - 6 + 9 + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} + 4.\]
Отрицательный показатель означает дробь: \(\left(\sqrt{3} + 4\right)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3} + 4}\), поэтому значение всего выражения равно
\[\left(\sqrt{3} + 4\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3} + 4} = 1.\]
Ответ: 1.
