Страница 24 номер 1.3.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Вычислить: 1) \(\left(\frac{2(\sqrt{15} - 1)}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} + \frac{2(\sqrt{13} + 2)}{\sqrt{15} - \sqrt{13}} - \sqrt{15} + \sqrt{13}\right) \cdot (7 - \sqrt{13})\); 2) \(\left(\frac{3(\sqrt{13} + 2)}{\sqrt{19} - 4} - \frac{4(\sqrt{19} - 2)}{\sqrt{13} - 3} - 2 + \sqrt{19}\right) \cdot (2 - \sqrt{13})\).
1) Первая дробь:
\[\frac{2\left(\sqrt{15} - 1\right)}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} = \frac{2\left(\sqrt{15} - 1\right)\left(\sqrt{15} - \sqrt{13}\right)}{15 - 13} = \left(\sqrt{15} - 1\right)\left(\sqrt{15} - \sqrt{13}\right) = 15 - \sqrt{195} - \sqrt{15} + \sqrt{13}.\]
Вторая дробь:
\[\frac{2\left(\sqrt{13} + 2\right)}{\sqrt{15} - \sqrt{13}} = \frac{2\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{15} + \sqrt{13}\right)}{15 - 13} = \left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{15} + \sqrt{13}\right) = \sqrt{195} + 13 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{13}.\]
Сумма дробей:
\[15 - \sqrt{195} - \sqrt{15} + \sqrt{13} + \sqrt{195} + 13 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{13} = 28 + \sqrt{15} + 3\sqrt{13}.\]
В скобках:
\[28 + \sqrt{15} + 3\sqrt{13} - \sqrt{15} + \sqrt{13} = 28 + 4\sqrt{13}.\]
Всё выражение:
\[\left(28 + 4\sqrt{13}\right)\left(7 - \sqrt{13}\right) = 4\left(7 + \sqrt{13}\right)\left(7 - \sqrt{13}\right) = 4\left(49 - 13\right) = 144.\]
2) Первая дробь:
\[\frac{3\left(\sqrt{13} + 2\right)}{\sqrt{19} - 4} = \frac{3\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{19} + 4\right)}{19 - 16} = \left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{19} + 4\right) = \sqrt{247} + 4\sqrt{13} + 2\sqrt{19} + 8.\]
Вторая дробь:
\[\frac{4\left(\sqrt{19} - 2\right)}{\sqrt{13} - 3} = \frac{4\left(\sqrt{19} - 2\right)\left(\sqrt{13} + 3\right)}{13 - 9} = \left(\sqrt{19} - 2\right)\left(\sqrt{13} + 3\right) = \sqrt{247} + 3\sqrt{19} - 2\sqrt{13} - 6.\]
Разность дробей:
\[\sqrt{247} + 4\sqrt{13} + 2\sqrt{19} + 8 - \sqrt{247} - 3\sqrt{19} + 2\sqrt{13} + 6 = 14 + 6\sqrt{13} - \sqrt{19}.\]
В скобках:
\[14 + 6\sqrt{13} - \sqrt{19} - 2 + \sqrt{19} = 12 + 6\sqrt{13}.\]
Всё выражение:
\[\left(12 + 6\sqrt{13}\right)\left(2 - \sqrt{13}\right) = -6\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{13} - 2\right) = -6\left(13 - 4\right) = -54.\]
Ответ: 1) \(144\); 2) \(-54\).
Вычислить: 1) \(\left(\frac{2(\sqrt{15} - 1)}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} + \frac{2(\sqrt{13} + 2)}{\sqrt{15} - \sqrt{13}} - \sqrt{15} + \sqrt{13}\right) \cdot (7 - \sqrt{13})\); 2) \(\left(\frac{3(\sqrt{13} + 2)}{\sqrt{19} - 4} - \frac{4(\sqrt{19} - 2)}{\sqrt{13} - 3} - 2 + \sqrt{19}\right) \cdot (2 - \sqrt{13})\).
Каждая дробь в скобках освобождается от иррациональности в знаменателе: числитель и знаменатель умножаются на выражение, сопряжённое знаменателю.
1) Первая дробь равна
\[\begin{aligned} &\frac{2\left(\sqrt{15} - 1\right)}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} = \frac{2\left(\sqrt{15} - 1\right)\left(\sqrt{15} - \sqrt{13}\right)}{15 - 13} = {} \\ &= \left(\sqrt{15} - 1\right)\left(\sqrt{15} - \sqrt{13}\right) = 15 - \sqrt{195} - \sqrt{15} + \sqrt{13}. \end{aligned}\]
Вторая дробь равна
\[\begin{aligned} &\frac{2\left(\sqrt{13} + 2\right)}{\sqrt{15} - \sqrt{13}} = \frac{2\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{15} + \sqrt{13}\right)}{15 - 13} = {} \\ &= \left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{15} + \sqrt{13}\right) = \sqrt{195} + 13 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{13}. \end{aligned}\]
Сумма этих дробей равна
\[\begin{aligned} &15 - \sqrt{195} - \sqrt{15} + \sqrt{13} + \sqrt{195} + 13 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{13} = {} \\ &= 28 + \sqrt{15} + 3\sqrt{13}. \end{aligned}\]
Выражение в скобках равно
\[28 + \sqrt{15} + 3\sqrt{13} - \sqrt{15} + \sqrt{13} = 28 + 4\sqrt{13}.\]
Значение всего выражения равно
\[\left(28 + 4\sqrt{13}\right)\left(7 - \sqrt{13}\right) = 4\left(7 + \sqrt{13}\right)\left(7 - \sqrt{13}\right) = 4\left(49 - 13\right) = 144.\]
2) Первая дробь равна
\[\begin{aligned} &\frac{3\left(\sqrt{13} + 2\right)}{\sqrt{19} - 4} = \frac{3\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{19} + 4\right)}{19 - 16} = {} \\ &= \left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{19} + 4\right) = \sqrt{247} + 4\sqrt{13} + 2\sqrt{19} + 8. \end{aligned}\]
Вторая дробь равна
\[\begin{aligned} &\frac{4\left(\sqrt{19} - 2\right)}{\sqrt{13} - 3} = \frac{4\left(\sqrt{19} - 2\right)\left(\sqrt{13} + 3\right)}{13 - 9} = {} \\ &= \left(\sqrt{19} - 2\right)\left(\sqrt{13} + 3\right) = \sqrt{247} + 3\sqrt{19} - 2\sqrt{13} - 6. \end{aligned}\]
Разность этих дробей равна
\[\begin{aligned} &\sqrt{247} + 4\sqrt{13} + 2\sqrt{19} + 8 - \sqrt{247} - 3\sqrt{19} + 2\sqrt{13} + 6 = {} \\ &= 14 + 6\sqrt{13} - \sqrt{19}. \end{aligned}\]
Выражение в скобках равно
\[14 + 6\sqrt{13} - \sqrt{19} - 2 + \sqrt{19} = 12 + 6\sqrt{13}.\]
Значение всего выражения равно
\[\left(12 + 6\sqrt{13}\right)\left(2 - \sqrt{13}\right) = -6\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{13} - 2\right) = -6\left(13 - 4\right) = -54.\]
Ответ: 1) \(144\); 2) \(-54\).
