Страница 24 номер 1.3.35, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сократить дробь: 1) \(\frac{7 - 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\); 2) \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{13 + 2\sqrt{30}}\); 3) \(\frac{13\sqrt{13} + 5\sqrt{5}}{\sqrt{13} + \sqrt{5}}\); 4) \(\frac{\sqrt{17} - \sqrt{11}}{17\sqrt{17} - 11\sqrt{11}}\).
1) \(\frac{7 - 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{5 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + 2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}\);
2) \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{13 + 2\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{10 + 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{3} + 3} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\left(\sqrt{10} + \sqrt{3}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}\);
3) \(\frac{13\sqrt{13} + 5\sqrt{5}}{\sqrt{13} + \sqrt{5}} = \frac{\left(\sqrt{13}\right)^3 + \left(\sqrt{5}\right)^3}{\sqrt{13} + \sqrt{5}} = \frac{\left(\sqrt{13} + \sqrt{5}\right)\left(13 - \sqrt{65} + 5\right)}{\sqrt{13} + \sqrt{5}} = 18 - \sqrt{65}\);
4) \(\frac{\sqrt{17} - \sqrt{11}}{17\sqrt{17} - 11\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{17} - \sqrt{11}}{\left(\sqrt{17}\right)^3 - \left(\sqrt{11}\right)^3} = \frac{\sqrt{17} - \sqrt{11}}{\left(\sqrt{17} - \sqrt{11}\right)\left(17 + \sqrt{187} + 11\right)} = \frac{1}{28 + \sqrt{187}}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\); 2) \(\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}\); 3) \(18 - \sqrt{65}\); 4) \(\frac{1}{28 + \sqrt{187}}\).
Сократить дробь: 1) \(\frac{7 - 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\); 2) \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{13 + 2\sqrt{30}}\); 3) \(\frac{13\sqrt{13} + 5\sqrt{5}}{\sqrt{13} + \sqrt{5}}\); 4) \(\frac{\sqrt{17} - \sqrt{11}}{17\sqrt{17} - 11\sqrt{11}}\).
Числитель или знаменатель дроби раскладывается на множители по формулам квадрата разности, квадрата суммы, суммы и разности кубов, после чего дробь сокращается.
1) \(7 - 2\sqrt{10} = 5 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + 2 = \left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2\), поэтому \(\frac{7 - 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}\);
2) \(13 + 2\sqrt{30} = 10 + 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{3} + 3 = \left(\sqrt{10} + \sqrt{3}\right)^2\), поэтому \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{13 + 2\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\left(\sqrt{10} + \sqrt{3}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}\);
3) \(13\sqrt{13} + 5\sqrt{5} = \left(\sqrt{13}\right)^3 + \left(\sqrt{5}\right)^3 = \left(\sqrt{13} + \sqrt{5}\right)\left(13 - \sqrt{65} + 5\right)\), поэтому \(\frac{13\sqrt{13} + 5\sqrt{5}}{\sqrt{13} + \sqrt{5}} = 13 - \sqrt{65} + 5 = 18 - \sqrt{65}\);
4) \(17\sqrt{17} - 11\sqrt{11} = \left(\sqrt{17}\right)^3 - \left(\sqrt{11}\right)^3 = \left(\sqrt{17} - \sqrt{11}\right)\left(17 + \sqrt{187} + 11\right)\), поэтому \(\frac{\sqrt{17} - \sqrt{11}}{17\sqrt{17} - 11\sqrt{11}} = \frac{1}{17 + \sqrt{187} + 11} = \frac{1}{28 + \sqrt{187}}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\); 2) \(\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}\); 3) \(18 - \sqrt{65}\); 4) \(\frac{1}{28 + \sqrt{187}}\).
