Страница 23 номер 1.3.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Подкоренное выражение представляется в виде квадрата суммы или квадрата разности: удвоенное произведение — это средний член, а квадраты — остальные слагаемые. Внешний корень снимается по тождеству \(\sqrt{x^2} = |x|\).

1) \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2} = \sqrt{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^2} = \left|\sqrt{3} + \sqrt{2}\right| = \sqrt{3} + \sqrt{2}\);
2) \(\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + 2} = \sqrt{\left(\sqrt{7} - \sqrt{2}\right)^2} = \left|\sqrt{7} - \sqrt{2}\right| = \sqrt{7} - \sqrt{2}\), так как \(\sqrt{7} > \sqrt{2}\);
3) \(\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{16 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 3} = \sqrt{\left(4 - \sqrt{3}\right)^2} = \left|4 - \sqrt{3}\right| = 4 - \sqrt{3}\), так как \(\sqrt{3} < \sqrt{16} = 4\);
4) \(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2} = \sqrt{\left(3 + \sqrt{2}\right)^2} = \left|3 + \sqrt{2}\right| = 3 + \sqrt{2}\).

Ответ: 1) \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\); 2) \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\); 3) \(4 - \sqrt{3}\); 4) \(3 + \sqrt{2}\).