Страница 23 номер 1.3.33, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Вычислить: 1) \(27^{\frac{2}{3}}\); 2) \(8^{\frac{2}{3}}\); 3) \(16^{\frac{3}{4}}\); 4) \(81^{\frac{3}{4}}\); 5) \(32^{-\frac{3}{5}}\); 6) \(243^{-\frac{2}{5}}\); 7) \(0{,}001^{-\frac{2}{3}}\); 8) \(0{,}008^{-\frac{2}{3}}\).
1) \(27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\left(3^3\right)^2} = \sqrt[3]{\left(3^2\right)^3} = 3^2 = 9\);
2) \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\left(2^3\right)^2} = \sqrt[3]{\left(2^2\right)^3} = 2^2 = 4\);
3) \(16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left(2^4\right)^3} = \sqrt[4]{\left(2^3\right)^4} = 2^3 = 8\);
4) \(81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left(3^4\right)^3} = \sqrt[4]{\left(3^3\right)^4} = 3^3 = 27\);
5) \(32^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(2^5\right)^3}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(2^3\right)^5}} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\);
6) \(243^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(3^5\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(3^2\right)^5}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\);
7) \(0{,}001^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\left(0{,}1^3\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{0{,}01^3}} = \frac{1}{0{,}01} = 100\);
8) \(0{,}008^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\left(0{,}2^3\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{0{,}04^3}} = \frac{1}{0{,}04} = 25\).
Ответ: 1) \(9\); 2) \(4\); 3) \(8\); 4) \(27\); 5) \(\frac{1}{8}\); 6) \(\frac{1}{9}\); 7) \(100\); 8) \(25\).
Вычислить: 1) \(27^{\frac{2}{3}}\); 2) \(8^{\frac{2}{3}}\); 3) \(16^{\frac{3}{4}}\); 4) \(81^{\frac{3}{4}}\); 5) \(32^{-\frac{3}{5}}\); 6) \(243^{-\frac{2}{5}}\); 7) \(0{,}001^{-\frac{2}{3}}\); 8) \(0{,}008^{-\frac{2}{3}}\).
Степень с дробным показателем определяется равенством \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\), где корень \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(b\) — это неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(b\). Отрицательный показатель означает дробь: \(a^{-k} = \frac{1}{a^k}\). Основания степеней записываются в виде степеней: \(27 = 3^3\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(81 = 3^4\), \(32 = 2^5\), \(243 = 3^5\), \(0{,}001 = 0{,}1^3\), \(0{,}008 = 0{,}2^3\).
1) \(27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\left(3^3\right)^2} = \sqrt[3]{\left(3^2\right)^3} = 3^2 = 9\);
2) \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\left(2^3\right)^2} = \sqrt[3]{\left(2^2\right)^3} = 2^2 = 4\);
3) \(16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left(2^4\right)^3} = \sqrt[4]{\left(2^3\right)^4} = 2^3 = 8\);
4) \(81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left(3^4\right)^3} = \sqrt[4]{\left(3^3\right)^4} = 3^3 = 27\);
5) \(32^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(2^5\right)^3}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(2^3\right)^5}} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\);
6) \(243^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(3^5\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\left(3^2\right)^5}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\);
7) \(0{,}001^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\left(0{,}1^3\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{0{,}01^3}} = \frac{1}{0{,}01} = 100\);
8) \(0{,}008^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\left(0{,}2^3\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{0{,}04^3}} = \frac{1}{0{,}04} = 25\).
Ответ: 1) \(9\); 2) \(4\); 3) \(8\); 4) \(27\); 5) \(\frac{1}{8}\); 6) \(\frac{1}{9}\); 7) \(100\); 8) \(25\).
