Страница 23 номер 1.3.32, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что верно равенство: 1) \(\sqrt{225} = 15\); 2) \(\sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \frac{1}{6}\); 3) \(\sqrt[15]{1} = 1\); 4) \(\sqrt[16]{0} = 0\); 5) \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}\); 6) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1\).
1) число 15 неотрицательно и \(15^2 = 225\) — равенство верно;
2) \(\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}\) — равенство верно;
3) \(1^{15} = 1\) — равенство верно;
4) число 0 неотрицательно и \(0^{16} = 0\) — равенство верно;
5) \(\sqrt{2} < \sqrt{4} = 2\), поэтому число \(3 - \sqrt{2}\) положительно, и \(\left(3 - \sqrt{2}\right)^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}\) — равенство верно;
6) \(\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1\), поэтому число \(\sqrt{3} - 1\) положительно, и \(\left(\sqrt{3} - 1\right)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}\) — равенство верно.
Ответ: каждое из шести равенств верно.
Доказать, что верно равенство: 1) \(\sqrt{225} = 15\); 2) \(\sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \frac{1}{6}\); 3) \(\sqrt[15]{1} = 1\); 4) \(\sqrt[16]{0} = 0\); 5) \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}\); 6) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1\).
Равенство проверяется по определению корня: надо убедиться, что \(n\)-я степень правой части равна подкоренному числу, а для корня чётной степени — ещё и что правая часть неотрицательна.
1) число 15 неотрицательно и \(15^2 = 225\), значит, 15 — арифметический квадратный корень из 225, и равенство \(\sqrt{225} = 15\) верно;
2) кубический корень из числа \(a\) — это число, куб которого равен \(a\); так как \(\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}\), равенство \(\sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \frac{1}{6}\) верно;
3) корень 15-й степени из числа \(a\) — это число, пятнадцатая степень которого равна \(a\); так как \(1^{15} = 1\), равенство \(\sqrt[15]{1} = 1\) верно;
4) корень 16-й степени из числа \(a\) — это неотрицательное число, шестнадцатая степень которого равна \(a\); число 0 неотрицательно и \(0^{16} = 0\), значит, равенство \(\sqrt[16]{0} = 0\) верно;
5) \(\sqrt{2} < \sqrt{4} = 2\), поэтому число \(3 - \sqrt{2}\) положительно; кроме того, \(\left(3 - \sqrt{2}\right)^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}\). Оба условия определения выполнены, значит, равенство \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}\) верно;
6) \(\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1\), поэтому число \(\sqrt{3} - 1\) положительно; кроме того, \(\left(\sqrt{3} - 1\right)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}\). Оба условия определения выполнены, значит, равенство \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1\) верно.
Ответ: каждое из шести равенств верно.
