Страница 23 номер 1.3.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Извлечь корень: 1) \(\sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2}\); 2) \(\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}\); 3) \(\sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{50})^4}\); 4) \(\sqrt{(6 - \sqrt{40})^6}\); 5) \(\sqrt{(5 - \sqrt{30})^{-2}}\); 6) \(\sqrt{(4 + \sqrt{17})^{-2}}\); 7) \(\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^{-4}}\); 8) \(\sqrt{(\sqrt{15} - \sqrt{17})^{-6}}\).
1) \(\sqrt{\left(\sqrt{2} + \sqrt{5}\right)^2} = \left|\sqrt{2} + \sqrt{5}\right| = \sqrt{2} + \sqrt{5}\), так как сумма положительна;
2) \(\sqrt{\left(3 - \sqrt{10}\right)^2} = \left|3 - \sqrt{10}\right| = \sqrt{10} - 3\), так как \(\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3\), то есть \(3 - \sqrt{10} < 0\);
3) \(\sqrt{\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^4} = \left|\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\right| = \left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\), так как квадрат неотрицателен;
4) \(\sqrt{\left(6 - \sqrt{40}\right)^6} = \left|\left(6 - \sqrt{40}\right)^3\right| = \left(\sqrt{40} - 6\right)^3\), так как \(\sqrt{40} > \sqrt{36} = 6\) и куб числа \(6 - \sqrt{40}\) отрицателен;
5) \(\sqrt{\left(5 - \sqrt{30}\right)^{-2}} = \frac{1}{\left|5 - \sqrt{30}\right|} = \frac{1}{\sqrt{30} - 5}\), так как \(\sqrt{30} > \sqrt{25} = 5\);
6) \(\sqrt{\left(4 + \sqrt{17}\right)^{-2}} = \frac{1}{\left|4 + \sqrt{17}\right|} = \frac{1}{4 + \sqrt{17}}\), так как \(4 + \sqrt{17} > 0\);
7) \(\sqrt{\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^{-4}} = \frac{1}{\left|\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^2\right|} = \frac{1}{\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^2}\), так как квадрат неотрицателен;
8) \(\sqrt{\left(\sqrt{15} - \sqrt{17}\right)^{-6}} = \frac{1}{\left|\left(\sqrt{15} - \sqrt{17}\right)^3\right|} = \frac{1}{\left(\sqrt{17} - \sqrt{15}\right)^3}\), так как \(\sqrt{15} < \sqrt{17}\) и куб числа \(\sqrt{15} - \sqrt{17}\) отрицателен.
Ответ: 1) \(\sqrt{2} + \sqrt{5}\); 2) \(\sqrt{10} - 3\); 3) \(\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\); 4) \(\left(\sqrt{40} - 6\right)^3\); 5) \(\frac{1}{\sqrt{30} - 5}\); 6) \(\frac{1}{4 + \sqrt{17}}\); 7) \(\frac{1}{\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^2}\); 8) \(\frac{1}{\left(\sqrt{17} - \sqrt{15}\right)^3}\).
Извлечь корень: 1) \(\sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2}\); 2) \(\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}\); 3) \(\sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{50})^4}\); 4) \(\sqrt{(6 - \sqrt{40})^6}\); 5) \(\sqrt{(5 - \sqrt{30})^{-2}}\); 6) \(\sqrt{(4 + \sqrt{17})^{-2}}\); 7) \(\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^{-4}}\); 8) \(\sqrt{(\sqrt{15} - \sqrt{17})^{-6}}\).
Корень из чётной степени извлекается по тождеству \(\sqrt{x^2} = |x|\): подкоренное выражение представляется в виде квадрата, а модуль раскрывается по знаку возведённого в квадрат выражения. Отрицательный показатель означает дробь: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\), а корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.
1) \(\sqrt{\left(\sqrt{2} + \sqrt{5}\right)^2} = \left|\sqrt{2} + \sqrt{5}\right| = \sqrt{2} + \sqrt{5}\), так как сумма \(\sqrt{2} + \sqrt{5}\) положительна;
2) \(\sqrt{\left(3 - \sqrt{10}\right)^2} = \left|3 - \sqrt{10}\right|\). Так как \(\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3\), то \(3 - \sqrt{10} < 0\) и \(\left|3 - \sqrt{10}\right| = \sqrt{10} - 3\);
3) \(\sqrt{\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^4} = \sqrt{\left(\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\right)^2} = \left|\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\right| = \left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\), так как квадрат любого числа неотрицателен;
4) \(\sqrt{\left(6 - \sqrt{40}\right)^6} = \sqrt{\left(\left(6 - \sqrt{40}\right)^3\right)^2} = \left|\left(6 - \sqrt{40}\right)^3\right|\). Так как \(\sqrt{40} > \sqrt{36} = 6\), то \(6 - \sqrt{40} < 0\), куб этого числа тоже отрицателен, и \(\left|\left(6 - \sqrt{40}\right)^3\right| = \left(\sqrt{40} - 6\right)^3\);
5) \(\sqrt{\left(5 - \sqrt{30}\right)^{-2}} = \sqrt{\frac{1}{\left(5 - \sqrt{30}\right)^2}} = \frac{1}{\left|5 - \sqrt{30}\right|}\). Так как \(\sqrt{30} > \sqrt{25} = 5\), то \(\left|5 - \sqrt{30}\right| = \sqrt{30} - 5\) и значение корня равно \(\frac{1}{\sqrt{30} - 5}\);
6) \(\sqrt{\left(4 + \sqrt{17}\right)^{-2}} = \sqrt{\frac{1}{\left(4 + \sqrt{17}\right)^2}} = \frac{1}{\left|4 + \sqrt{17}\right|} = \frac{1}{4 + \sqrt{17}}\), так как \(4 + \sqrt{17} > 0\);
7) \(\sqrt{\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^{-4}} = \frac{1}{\left|\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^2\right|} = \frac{1}{\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^2}\), так как квадрат любого числа неотрицателен;
8) \(\sqrt{\left(\sqrt{15} - \sqrt{17}\right)^{-6}} = \frac{1}{\left|\left(\sqrt{15} - \sqrt{17}\right)^3\right|}\). Так как \(\sqrt{15} < \sqrt{17}\), то \(\left(\sqrt{15} - \sqrt{17}\right)^3 < 0\) и значение корня равно \(\frac{1}{\left(\sqrt{17} - \sqrt{15}\right)^3}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{2} + \sqrt{5}\); 2) \(\sqrt{10} - 3\); 3) \(\left(\sqrt{7} - \sqrt{50}\right)^2\); 4) \(\left(\sqrt{40} - 6\right)^3\); 5) \(\frac{1}{\sqrt{30} - 5}\); 6) \(\frac{1}{4 + \sqrt{17}}\); 7) \(\frac{1}{\left(\sqrt{10} - \sqrt{11}\right)^2}\); 8) \(\frac{1}{\left(\sqrt{17} - \sqrt{15}\right)^3}\).
