Страница 17 номер 1.2.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Какие натуральные числа имеют нечётное число различных натуральных делителей?
Делители числа \(N\) разбиваются на пары \(d\) и \(N : d\) с произведением \(N\); в паре стоят различные числа всегда, кроме случая \(d \cdot d = N\).
Если \(N\) не квадрат натурального числа, такого делителя нет: все делители разбиваются на пары различных чисел, и потому их число чётное.
Если же \(N = d^2\), то делитель \(d\) остаётся без пары, а все остальные разбиваются на пары различных чисел, и число делителей нечётное.
Ответ: нечётное число различных натуральных делителей имеют квадраты натуральных чисел, то есть числа вида \(n^2\), где \(n\) — натуральное число.
Какие натуральные числа имеют нечётное число различных натуральных делителей?
Пусть \(N\) — натуральное число. Каждому его натуральному делителю \(d\) отвечает натуральный делитель \(N : d\), причём произведение этих двух делителей равно \(N\). Так все делители числа \(N\) разбиваются на пары.
В паре стоят различные числа всегда, кроме случая, когда \(d = N : d\), то есть когда \(d \cdot d = N\).
Если \(N\) не является квадратом натурального числа, то равенство \(d \cdot d = N\) не выполняется ни при каком натуральном \(d\): все делители разбиваются на пары различных чисел, и потому число делителей чётное.
Если же \(N\) — квадрат натурального числа, \(N = d^2\), то делитель \(d\) оказывается в паре сам с собой и остаётся без пары, а все остальные делители разбиваются на пары различных чисел. Тогда число делителей нечётное.
Например, у числа \(16 = 4^2\) делители 1, 2, 4, 8, 16 — их пять, а у числа 15 делители 1, 3, 5, 15 — их четыре.
Ответ: нечётное число различных натуральных делителей имеют квадраты натуральных чисел, то есть числа вида \(n^2\), где \(n\) — натуральное число.
