Страница 17 номер 1.2.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на \(3\) станет квадратом натурального числа, а после умножения на \(5\) — кубом.
Пусть \(N\) — искомое число. Натуральное число является квадратом, когда все показатели его разложения на простые множители чётные, и кубом — когда все они делятся на 3.
Простой множитель, отличный от 3 и от 5, входит и в \(N\), и в \(3N\), и в \(5N\) с одним и тем же показателем \(k\): число \(3N\) — квадрат, поэтому \(k\) чётное; число \(5N\) — куб, поэтому \(k\) делится на 3. Значит, \(k\) делится на 6, и наименьшее его значение — нуль: других простых множителей у \(N\) нет.
Поэтому \(N = 3^a \cdot 5^b\), \(3N = 3^{a + 1} \cdot 5^b\), \(5N = 3^a \cdot 5^{b + 1}\).
Число \(3N\) — квадрат, поэтому показатель \(a + 1\) чётный, то есть \(a\) нечётный, и \(b\) чётный; число \(5N\) — куб, поэтому \(a\) делится на 3 и \(b + 1\) делится на 3.
Чем больше показатели, тем больше само число, поэтому берём наименьшие подходящие значения: \(a = 3\) и \(b = 2\), откуда \(N = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675\).
Проверка: \(675 \cdot 3 = 2025 = 45^2\) — квадрат натурального числа; \(675 \cdot 5 = 3375 = 15^3\) — куб натурального числа.
Ответ: \(675\).
Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на \(3\) станет квадратом натурального числа, а после умножения на \(5\) — кубом.
Пусть \(N\) — искомое натуральное число.
Если натуральное число \(m\) разложено на простые множители, то в разложении числа \(m^2\) каждый показатель удваивается, а в разложении числа \(m^3\) — утраивается. Разложение на простые множители единственно, поэтому натуральное число является квадратом натурального числа тогда и только тогда, когда все показатели его разложения чётные, и кубом натурального числа — тогда и только тогда, когда все показатели его разложения делятся на 3.
Пусть в разложение числа \(N\) входит простой множитель, отличный от 3 и от 5, с показателем \(k\). С тем же показателем он входит и в разложение числа \(3N\), и в разложение числа \(5N\). Число \(3N\) — квадрат, поэтому \(k\) чётное; число \(5N\) — куб, поэтому \(k\) делится на 3. Значит, \(k\) делится на 6, и наименьшее возможное значение \(k\) — нуль: у наименьшего искомого числа других простых множителей, кроме 3 и 5, нет.
Значит, \(N = 3^a \cdot 5^b\), а тогда \(3N = 3^{a + 1} \cdot 5^b\) и \(5N = 3^a \cdot 5^{b + 1}\).
Число \(3N\) — квадрат, поэтому показатель \(a + 1\) чётный, то есть показатель \(a\) нечётный, и показатель \(b\) чётный. Число \(5N\) — куб, поэтому показатель \(a\) делится на 3 и показатель \(b + 1\) делится на 3.
Наименьший нечётный показатель, делящийся на 3, — это \(a = 3\). Наименьший чётный показатель \(b\), при котором \(b + 1\) делится на 3, — это \(b = 2\). Чем больше показатели, тем больше само число, поэтому наименьшее искомое число равно \(N = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675\).
Проверка: \(675 \cdot 3 = 2025 = 45^2\) — квадрат натурального числа; \(675 \cdot 5 = 3375 = 15^3\) — куб натурального числа.
Ответ: \(675\).
