Страница 17 номер 1.2.27, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что \(5^6 - 4^6 = 3^3 \cdot 7 \cdot 61\).
\[5^6 - 4^6 = (5^3)^2 - (4^3)^2 = (5^3 - 4^3)(5^3 + 4^3).\]
\(5^3 - 4^3 = (5 - 4)(5^2 + 5 \cdot 4 + 4^2) = 1 \cdot (25 + 20 + 16) = 61\).
\(5^3 + 4^3 = (5 + 4)(5^2 - 5 \cdot 4 + 4^2) = 9 \cdot (25 - 20 + 16) = 9 \cdot 21 = 189\).
\(189 = 3 \cdot 63 = 3 \cdot 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^3 \cdot 7\), поэтому
\[5^6 - 4^6 = 61 \cdot 189 = 61 \cdot 3^3 \cdot 7 = 3^3 \cdot 7 \cdot 61.\]
Ответ: \(5^6 - 4^6 = 3^3 \cdot 7 \cdot 61\), равенство доказано.
Доказать, что \(5^6 - 4^6 = 3^3 \cdot 7 \cdot 61\).
Каждая из степеней \(5^6\) и \(4^6\) — квадрат: \(5^6 = (5^3)^2\) и \(4^6 = (4^3)^2\). По формуле разности квадратов
\[5^6 - 4^6 = (5^3)^2 - (4^3)^2 = (5^3 - 4^3)(5^3 + 4^3).\]
По формуле разности кубов \(5^3 - 4^3 = (5 - 4)(5^2 + 5 \cdot 4 + 4^2) = 1 \cdot (25 + 20 + 16) = 61\).
По формуле суммы кубов \(5^3 + 4^3 = (5 + 4)(5^2 - 5 \cdot 4 + 4^2) = 9 \cdot (25 - 20 + 16) = 9 \cdot 21 = 189\).
Значит, \(5^6 - 4^6 = 61 \cdot 189\). Разложим число 189 на простые множители: \(189 = 3 \cdot 63 = 3 \cdot 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^3 \cdot 7\). Отсюда
\[5^6 - 4^6 = 61 \cdot 3^3 \cdot 7 = 3^3 \cdot 7 \cdot 61.\]
Ответ: \(5^6 - 4^6 = 3^3 \cdot 7 \cdot 61\), равенство доказано.
