Страница 17 номер 1.2.24, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что при любом натуральном \(n\) значение выражения: 1) \(8n^3 - 12n^2 + 6n + 63\); 2) \(n^3 - 6n^2 + 12n + 117\) является составным числом.
1) \((2n - 1)^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1\), а \(63 = -1 + 64\), поэтому по формуле суммы кубов
\[8n^3 - 12n^2 + 6n + 63 = (2n - 1)^3 + 4^3 = (2n - 1 + 4)\left((2n - 1)^2 - (2n - 1) \cdot 4 + 4^2\right) = (2n + 3)(4n^2 - 12n + 21).\]
При натуральном \(n\) первый множитель \(2n + 3\) не меньше 5, а второй \(4n^2 - 12n + 21 = (2n - 3)^2 + 12\) не меньше 12, потому что квадрат любого числа неотрицателен.
Оба множителя больше единицы, значит, при любом натуральном \(n\) значение выражения \(8n^3 - 12n^2 + 6n + 63\) — составное число.
2) \((n - 2)^3 = n^3 - 6n^2 + 12n - 8\), а \(117 = -8 + 125\), поэтому по формуле суммы кубов
\[n^3 - 6n^2 + 12n + 117 = (n - 2)^3 + 5^3 = (n - 2 + 5)\left((n - 2)^2 - (n - 2) \cdot 5 + 5^2\right) = (n + 3)(n^2 - 9n + 39).\]
При натуральном \(n\) первый множитель \(n + 3\) не меньше 4, а второй \(n^2 - 9n + 39 = (n - 4)(n - 5) + 19\) не меньше 19: числа \(n - 5\) и \(n - 4\) — соседние целые, они либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, поэтому их произведение неотрицательно.
Оба множителя больше единицы, значит, при любом натуральном \(n\) значение выражения \(n^3 - 6n^2 + 12n + 117\) — составное число.
Ответ: 1) \(8n^3 - 12n^2 + 6n + 63 = (2n + 3)(4n^2 - 12n + 21)\), оба множителя больше единицы, поэтому при любом натуральном \(n\) значение выражения — составное число; 2) \(n^3 - 6n^2 + 12n + 117 = (n + 3)(n^2 - 9n + 39)\), оба множителя больше единицы, поэтому при любом натуральном \(n\) значение выражения — составное число.
Доказать, что при любом натуральном \(n\) значение выражения: 1) \(8n^3 - 12n^2 + 6n + 63\); 2) \(n^3 - 6n^2 + 12n + 117\) является составным числом.
1) По формуле куба разности \((2n - 1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1\).
Так как \(63 = -1 + 64\), то
\[8n^3 - 12n^2 + 6n + 63 = (2n - 1)^3 + 64 = (2n - 1)^3 + 4^3.\]
По формуле суммы кубов
\[\begin{aligned} &(2n - 1)^3 + 4^3 = (2n - 1 + 4)\left((2n - 1)^2 - (2n - 1) \cdot 4 + 4^2\right) = {} \\ &= (2n + 3)(4n^2 - 4n + 1 - 8n + 4 + 16) = (2n + 3)(4n^2 - 12n + 21). \end{aligned}\]
При натуральном \(n\) первый множитель \(2n + 3\) не меньше 5. Второй множитель \(4n^2 - 12n + 21 = (2n - 3)^2 + 12\) не меньше 12, потому что квадрат любого числа неотрицателен.
Оба множителя — натуральные числа, большие единицы, поэтому у значения выражения есть делитель \(2n + 3\), отличный и от единицы, и от самого значения. Следовательно, при любом натуральном \(n\) значение выражения \(8n^3 - 12n^2 + 6n + 63\) является составным числом.
2) По формуле куба разности \((n - 2)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 - 2^3 = n^3 - 6n^2 + 12n - 8\).
Так как \(117 = -8 + 125\), то
\[n^3 - 6n^2 + 12n + 117 = (n - 2)^3 + 125 = (n - 2)^3 + 5^3.\]
По формуле суммы кубов
\[\begin{aligned} &(n - 2)^3 + 5^3 = (n - 2 + 5)\left((n - 2)^2 - (n - 2) \cdot 5 + 5^2\right) = {} \\ &= (n + 3)(n^2 - 4n + 4 - 5n + 10 + 25) = (n + 3)(n^2 - 9n + 39). \end{aligned}\]
При натуральном \(n\) первый множитель \(n + 3\) не меньше 4. Второй множитель \(n^2 - 9n + 39 = (n - 4)(n - 5) + 19\) не меньше 19: числа \(n - 5\) и \(n - 4\) — соседние целые, они либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, поэтому их произведение неотрицательно.
Оба множителя — натуральные числа, большие единицы, поэтому у значения выражения есть делитель \(n + 3\), отличный и от единицы, и от самого значения. Следовательно, при любом натуральном \(n\) значение выражения \(n^3 - 6n^2 + 12n + 117\) является составным числом.
Ответ: 1) \(8n^3 - 12n^2 + 6n + 63 = (2n + 3)(4n^2 - 12n + 21)\), оба множителя больше единицы, поэтому при любом натуральном \(n\) значение выражения — составное число; 2) \(n^3 - 6n^2 + 12n + 117 = (n + 3)(n^2 - 9n + 39)\), оба множителя больше единицы, поэтому при любом натуральном \(n\) значение выражения — составное число.
