Страница 17 номер 1.2.23, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1) Число \(2^{12}\) — куб числа \(2^4\), а число \(5^9\) — куб числа \(5^3\):
\[2^{12} + 5^9 = (2^4)^3 + (5^3)^3 = 16^3 + 125^3.\]

По формуле суммы кубов
\[16^3 + 125^3 = (16 + 125)(16^2 - 16 \cdot 125 + 125^2) = 141 \cdot 13\,881.\]

Оба множителя — натуральные числа, большие единицы, поэтому у числа \(2^{12} + 5^9\) есть делитель 141, отличный и от единицы, и от самого числа. Значит, значение выражения \(2^{12} + 5^9\) является составным числом.

2) Число \(2^{10}\) — квадрат числа \(2^5\), а число \(5^{12}\) — квадрат числа \(5^6\). Удвоенное произведение чисел \(2^5\) и \(5^6\) равно \(2 \cdot 2^5 \cdot 5^6 = 2^6 \cdot 5^6 = (2^3)^2 \cdot (5^3)^2 = (2^3 \cdot 5^3)^2\).

Прибавим к выражению это удвоенное произведение и вычтем его — получится квадрат суммы без квадрата числа \(2^3 \cdot 5^3\):
\[\begin{aligned} &2^{10} + 5^{12} = (2^5)^2 + 2 \cdot 2^5 \cdot 5^6 + (5^6)^2 - (2^3 \cdot 5^3)^2 = {} \\ &= (2^5 + 5^6)^2 - (2^3 \cdot 5^3)^2. \end{aligned}\]

По формуле разности квадратов
\[2^{10} + 5^{12} = (2^5 + 5^6 - 2^3 \cdot 5^3)(2^5 + 5^6 + 2^3 \cdot 5^3).\]

Так как \(2^5 = 32\), \(5^6 = 15\,625\) и \(2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\), то
\[2^{10} + 5^{12} = (32 + 15\,625 - 1000)(32 + 15\,625 + 1000) = 14\,657 \cdot 16\,657.\]

Оба множителя — натуральные числа, большие единицы, поэтому значение выражения \(2^{10} + 5^{12}\) является составным числом.

Ответ: 1) \(2^{12} + 5^9 = 141 \cdot 13\,881\) — составное число; 2) \(2^{10} + 5^{12} = 14\,657 \cdot 16\,657\) — составное число.