Страница 11 номер 1.1.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В коробке лежало одинаковое количество чёрных и красных карандашей. После того как из коробки вынули \(7\) карандашей, оказалось, что \(56\ \%\) оставшихся в коробке карандашей — красные. 1) Сколько карандашей лежало в коробке первоначально? 2) Сколько чёрных и сколько красных карандашей из неё вынули?
Дано:
чёрных и красных карандашей поровну
вынули \(7\) карандашей
\(56\ \%\) оставшихся карандашей — красные
Найти: 1) первоначальное количество карандашей; 2) количество вынутых чёрных и красных карандашей.
Решение:
1) Пусть чёрных карандашей было \(k\), красных тоже \(k\), а всего \(2k\).
Осталось \(2k - 7\) карандашей, красных среди них \(56\ \%\):
\[0{,}56 \cdot (2k - 7) = \frac{56 \cdot (2k - 7)}{100} = \frac{14 \cdot (2k - 7)}{25}.\]
Дробь \(\frac{14}{25}\) несократима, поэтому нечётное число \(2k - 7\) делится на 25: оно равно 25, или 75, или 125, и так далее.
Красных \(56\ \%\), чёрных \(100\ \% - 56\ \% = 44\ \%\), то есть красных больше на \(56\ \% - 44\ \% = 12\ \%\) от оставшихся, а вынули всего 7 карандашей, поэтому разница не больше 7.
\(0{,}12 \cdot 25 = 3\) — разница при 25 оставшихся, не больше 7;
\(0{,}12 \cdot 75 = 9\) — разница при 75 оставшихся, уже больше 7, дальше только растёт, поэтому \(2k - 7 = 25\), откуда \(2k = 32\).
2) Из оставшихся 25 карандашей красных \(25 \cdot 0{,}56 = 14\), чёрных \(25 - 14 = 11\).
Вначале было \(32 : 2 = 16\) чёрных и 16 красных, поэтому вынули \(16 - 11 = 5\) чёрных и \(16 - 14 = 2\) красных карандаша.
Проверка: \(5 + 2 = 7\) — столько карандашей и вынули из коробки.
Ответ: 1) \(32\) карандаша; 2) вынули \(5\) чёрных и \(2\) красных карандаша.
В коробке лежало одинаковое количество чёрных и красных карандашей. После того как из коробки вынули \(7\) карандашей, оказалось, что \(56\ \%\) оставшихся в коробке карандашей — красные. 1) Сколько карандашей лежало в коробке первоначально? 2) Сколько чёрных и сколько красных карандашей из неё вынули?
Дано:
чёрных и красных карандашей поровну
вынули \(7\) карандашей
\(56\ \%\) оставшихся карандашей — красные
Найти: 1) первоначальное количество карандашей; 2) количество вынутых чёрных и красных карандашей.
Решение:
1) Пусть чёрных карандашей было \(k\), тогда красных тоже \(k\), а всего \(2k\) карандашей.
После того как вынули 7 карандашей, в коробке осталось \(2k - 7\) карандашей, и красных среди них \(56\ \%\), то есть
\[0{,}56 \cdot (2k - 7) = \frac{56 \cdot (2k - 7)}{100} = \frac{14 \cdot (2k - 7)}{25}.\]
Дробь \(\frac{14}{25}\) несократима, поэтому это число целое только тогда, когда \(2k - 7\) делится на 25. Число \(2k - 7\) нечётное, поэтому оно равно 25, или 75, или 125, и так далее.
Красные составляют \(56\ \%\) оставшихся карандашей, а чёрные — \(100\ \% - 56\ \% = 44\ \%\), и красных больше, чем чёрных, на \(56\ \% - 44\ \% = 12\ \%\) от числа оставшихся. Вначале красных и чёрных было поровну, а вынули всего 7 карандашей, поэтому такая разница не может быть больше 7.
\(0{,}12 \cdot 25 = 3\) — разница при 25 оставшихся карандашах, она не больше 7;
\(0{,}12 \cdot 75 = 9\) — разница при 75 оставшихся карандашах, она уже больше 7, а при следующих кратных 25 разница ещё больше.
Значит, \(2k - 7 = 25\), откуда \(2k = 32\).
2) В коробке осталось 25 карандашей, из них красных \(25 \cdot 0{,}56 = 14\), а чёрных \(25 - 14 = 11\).
Первоначально в коробке было \(32 : 2 = 16\) чёрных и 16 красных карандашей, поэтому вынули \(16 - 11 = 5\) чёрных карандашей и \(16 - 14 = 2\) красных.
Проверка: \(5 + 2 = 7\) — столько карандашей и вынули из коробки.
Ответ: 1) \(32\) карандаша; 2) вынули \(5\) чёрных и \(2\) красных карандаша.
