Страница 10 номер 1.1.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти способ устного вычисления суммы: \[\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}.\]
Числитель каждой дроби равен разности множителей её знаменателя, поэтому при сложении таких разностей остаются только \(1\) и \(\frac{1}{10}\).
\[\begin{aligned} &\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = {} \\ &= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0{,}9. \end{aligned}\]
\(\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{2 - 1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2}\);
и так далее до \(\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{10 - 9}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}\).
Ответ: \(0{,}9\).
Найти способ устного вычисления суммы: \[\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}.\]
Числитель каждой дроби равен разности множителей, стоящих в её знаменателе, поэтому каждую дробь можно заменить разностью двух дробей. При сложении таких разностей каждое вычитаемое уничтожается со следующим уменьшаемым, и остаются только первое уменьшаемое \(1\) и последнее вычитаемое \(\frac{1}{10}\).
\[\begin{aligned} &\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = {} \\ &= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0{,}9. \end{aligned}\]
\(\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{2 - 1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{3 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\);
\(\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{4 - 3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\);
и так далее до \(\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{10 - 9}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}\).
Ответ: \(0{,}9\).
