Страница 8 номер 1.1.28, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Какие из дробей \(\frac{7}{20}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{3}{8}\), \(\frac{1}{125}\), \(\frac{3}{15}\), \(\frac{4}{12}\) нельзя превратить в конечные десятичные дроби? Почему? Сформулировать правило, позволяющее определить, какую обыкновенную дробь можно обратить в конечную десятичную дробь.
\(\frac{7}{20}\): \(20 = 2^2 \cdot 5\), и \(\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35\).
\(\frac{1}{3}\): дробь несократима, знаменатель 3 — простое число, отличное от 2 и 5, поэтому деление не оканчивается: \(1 : 3 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\).
\(\frac{3}{8}\): \(8 = 2^3\), и \(\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0{,}375\).
\(\frac{1}{125}\): \(125 = 5^3\), и \(\frac{1}{125} = \frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000} = 0{,}008\).
\(\frac{3}{15}\): \(\frac{3}{15} = \frac{1}{5}\), знаменатель несократимой дроби равен 5, и \(\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0{,}2\).
\(\frac{4}{12}\): \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), знаменатель несократимой дроби равен 3 — простому числу, отличному от 2 и 5, — поэтому деление не оканчивается: \(4 : 12 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\).
Правило: несократимую дробь можно обратить в конечную десятичную тогда, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме 2 и 5; иначе дробь обращается в бесконечную периодическую.
Ответ: в конечную десятичную дробь нельзя обратить дроби \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{4}{12}\), потому что у несократимой дроби, равной каждой из них, знаменатель 3, а 3 отлично от 2 и 5; несократимую дробь можно обратить в конечную десятичную дробь тогда, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме 2 и 5.
Какие из дробей \(\frac{7}{20}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{3}{8}\), \(\frac{1}{125}\), \(\frac{3}{15}\), \(\frac{4}{12}\) нельзя превратить в конечные десятичные дроби? Почему? Сформулировать правило, позволяющее определить, какую обыкновенную дробь можно обратить в конечную десятичную дробь.
Конечная десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, а в разложении каждого из этих чисел на простые множители стоят только двойки и пятёрки: \(10 = 2 \cdot 5\), \(100 = 2^2 \cdot 5^2\), \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\). Значит, привести дробь к такому знаменателю можно только тогда, когда после сокращения в разложении её знаменателя нет других простых множителей, кроме 2 и 5.
\(\frac{7}{20}\): знаменатель \(20 = 2^2 \cdot 5\), и \(\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35\).
\(\frac{1}{3}\): дробь несократима, знаменатель 3 — простое число, отличное от 2 и 5. Сумма цифр каждого из чисел 10, 100, 1000, … равна 1, поэтому ни одно из них на 3 не делится, и привести дробь к такому знаменателю нельзя; деление не оканчивается: \(1 : 3 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\).
\(\frac{3}{8}\): знаменатель \(8 = 2^3\), и \(\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0{,}375\).
\(\frac{1}{125}\): знаменатель \(125 = 5^3\), и \(\frac{1}{125} = \frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000} = 0{,}008\).
\(\frac{3}{15}\): дробь сократима, \(\frac{3}{15} = \frac{1}{5}\), знаменатель несократимой дроби равен 5, и \(\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0{,}2\).
\(\frac{4}{12}\): дробь сократима, \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), знаменатель несократимой дроби равен 3 — простому числу, отличному от 2 и 5, — и деление не оканчивается: \(4 : 12 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\).
Правило: несократимую обыкновенную дробь можно обратить в конечную десятичную дробь тогда, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме 2 и 5; если же в разложении знаменателя есть хотя бы один другой простой множитель, дробь обращается в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Ответ: в конечную десятичную дробь нельзя обратить дроби \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{4}{12}\), потому что у несократимой дроби, равной каждой из них, знаменатель 3, а 3 отлично от 2 и 5; несократимую дробь можно обратить в конечную десятичную дробь тогда, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме 2 и 5.
