Страница 170 номер 999, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сумма трёх последовательных натуральных чисел больше 250 и является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение такой суммы.
Пусть \(n\) — наименьшее из трёх чисел; их сумма \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\) делится на 3.
Сумма — квадрат натурального числа, то есть \(k \cdot k\); это произведение делится на простое число 3, а множители одинаковые, значит, и само \(k\) делится на 3.
Квадраты чисел, кратных трём:
\[\begin{aligned} &3^2 = 9, \quad 6^2 = 36, \quad 9^2 = 81, \\ &12^2 = 144, \quad 15^2 = 225, \quad 18^2 = 324. \end{aligned}\]
Наименьший квадрат, больший 250, равен 324.
\(3(n + 1) = 324\), откуда \(n + 1 = 108\) и \(n = 107\).
Проверка: \(107 + 108 + 109 = 324\), число 324 больше 250 и равно \(18^2\).
Ответ: 324.
Сумма трёх последовательных натуральных чисел больше 250 и является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение такой суммы.
Обозначим наименьшее из трёх последовательных натуральных чисел через \(n\). Тогда следующие числа равны \(n + 1\) и \(n + 2\), а их сумма равна
\[n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).\]
Значит, сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.
По условию эта сумма является квадратом натурального числа, то есть равна произведению \(k \cdot k\) при некотором натуральном \(k\). Это произведение делится на простое число 3, поэтому на 3 делится хотя бы один из множителей, а множители одинаковые — значит, само число \(k\) делится на 3.
Выпишем квадраты натуральных чисел, кратных трём, пока не получим значение, большее 250:
\[\begin{aligned} &3^2 = 9, \quad 6^2 = 36, \quad 9^2 = 81, \\ &12^2 = 144, \quad 15^2 = 225, \quad 18^2 = 324. \end{aligned}\]
Наименьший из этих квадратов, больший 250, равен 324.
Найдём сами числа: из равенства \(3(n + 1) = 324\) получаем \(n + 1 = 108\), откуда \(n = 107\).
Проверка: \(107 + 108 + 109 = 324\), число 324 больше 250 и равно \(18^2\).
Ответ: 324.
