Страница 170 номер 997, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 12, 14 и 30.
\[12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 14 = 2 \cdot 7, \qquad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5.\]
Общий простой множитель один — двойка: множителя 3 нет в разложении числа 14, множитель 5 есть только у числа 30, а множитель 7 — только у числа 14. Двойку берём в первой степени, потому что в разложения чисел 14 и 30 она входит в первой:
\[\mathrm{НОД}(12; 14; 30) = 2.\]
Наибольшая степень двойки — \(2^2\) (из разложения числа 12), множители 3, 5 и 7 входят в первой степени:
\[\mathrm{НОК}(12; 14; 30) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420.\]
Проверка: \(420 : 12 = 35\), \(420 : 14 = 30\), \(420 : 30 = 14\).
Ответ: \(\mathrm{НОД}(12; 14; 30) = 2\); \(\mathrm{НОК}(12; 14; 30) = 420\).
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 12, 14 и 30.
Разложим каждое из чисел на простые множители:
\[12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 14 = 2 \cdot 7, \qquad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5.\]
В наибольший общий делитель входят только те простые множители, которые есть в каждом из трёх разложений, причём в наименьших степенях. Общий простой множитель здесь только один — двойка: множителя 3 нет в разложении числа 14, множитель 5 есть только в разложении числа 30, а множитель 7 — только в разложении числа 14. Двойку можно взять лишь в первой степени, потому что в разложения чисел 14 и 30 она входит в первой степени:
\[\mathrm{НОД}(12; 14; 30) = 2.\]
В наименьшее общее кратное входят все простые множители всех трёх разложений, причём в наибольших степенях. Наибольшая степень двойки — \(2^2\) (из разложения числа 12), а множители 3, 5 и 7 входят в первой степени:
\[\mathrm{НОК}(12; 14; 30) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420.\]
Проверка: число 420 делится на каждое из данных чисел: \(420 : 12 = 35\), \(420 : 14 = 30\), \(420 : 30 = 14\).
Ответ: \(\mathrm{НОД}(12; 14; 30) = 2\); \(\mathrm{НОК}(12; 14; 30) = 420\).
