Страница 170 номер 993, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Существует ли двузначное число, которое увеличивается в 3 раза, если поменять местами его цифры?
\(\overline{ab} = 10a + b\), где \(1 \leqslant a \leqslant 9\) и \(0 \leqslant b \leqslant 9\); \(\overline{ba} = 10b + a\).
\[10b + a = 3(10a + b);\]
\[10b + a = 30a + 3b;\]
\[7b = 29a.\]
Левая часть делится на 7, значит, и произведение \(29a\) делится на 7. Число 7 простое, а 29 на 7 не делится, поэтому на 7 делится цифра \(a\), а среди цифр от 1 до 9 такая одна: \(a = 7\).
\(7b = 29 \cdot 7 = 203\), откуда \(b = 29\), но \(b\) — цифра и больше 9 быть не может.
Следовательно, ни одна пара цифр условию не удовлетворяет.
Ответ: нет, такого двузначного числа не существует.
Существует ли двузначное число, которое увеличивается в 3 раза, если поменять местами его цифры?
Обозначим искомое двузначное число через \(\overline{ab}\), где \(a\) и \(b\) — его цифры, причём \(1 \leqslant a \leqslant 9\) (на первом месте в записи числа не может стоять 0) и \(0 \leqslant b \leqslant 9\). Тогда \(\overline{ab} = 10a + b\), а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно \(\overline{ba} = 10b + a\).
По условию число \(\overline{ba}\) в 3 раза больше числа \(\overline{ab}\), поэтому составим равенство:
\[10b + a = 3(10a + b).\]
Преобразуем это равенство:
\[10b + a = 30a + 3b; \qquad 7b = 29a.\]
Левая часть полученного равенства делится на 7, значит, и произведение \(29a\) делится на 7. Число 7 простое, а число 29 на 7 не делится, поэтому на 7 делится цифра \(a\). Среди цифр от 1 до 9 на 7 делится только число 7, значит, \(a = 7\).
Тогда \(7b = 29 \cdot 7 = 203\), откуда \(b = 29\). Но \(b\) — цифра, и она не может быть больше 9.
Следовательно, ни одна пара цифр условию не удовлетворяет.
Ответ: нет, такого двузначного числа не существует.
