Страница 170 номер 992, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 48 и 90.
\[48 = 2^4 \cdot 3, \qquad 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.\]
Общие простые множители — 2 и 3. Двойку берём в первой степени (в разложение числа 90 она входит в первой), тройку — тоже в первой (в разложение числа 48 она входит в первой):
\[\mathrm{НОД}(48; 90) = 2 \cdot 3 = 6.\]
Наибольшая степень двойки — \(2^4\) (из разложения числа 48), тройки — \(3^2\) (из разложения числа 90), множитель 5 входит в первой степени:
\[\mathrm{НОК}(48; 90) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720.\]
Проверка: \(6 \cdot 720 = 4320\) и \(48 \cdot 90 = 4320\).
Ответ: \(\mathrm{НОД}(48; 90) = 6\); \(\mathrm{НОК}(48; 90) = 720\).
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 48 и 90.
Разложим каждое из чисел на простые множители:
\[48 = 2^4 \cdot 3, \qquad 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.\]
В наибольший общий делитель входят только те простые множители, которые есть в обоих разложениях, причём в наименьших степенях. Общие простые множители — 2 и 3. Двойку можно взять только в первой степени (в разложение числа 90 она входит в первой степени), тройку — тоже только в первой (в разложение числа 48 она входит в первой степени):
\[\mathrm{НОД}(48; 90) = 2 \cdot 3 = 6.\]
В наименьшее общее кратное входят все простые множители обоих разложений, причём в наибольших степенях. Наибольшая степень двойки — \(2^4\) (из разложения числа 48), наибольшая степень тройки — \(3^2\) (из разложения числа 90), множитель 5 входит в первой степени:
\[\mathrm{НОК}(48; 90) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720.\]
Проверка: произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного равно произведению исходных чисел: \(6 \cdot 720 = 4320\) и \(48 \cdot 90 = 4320\).
Ответ: \(\mathrm{НОД}(48; 90) = 6\); \(\mathrm{НОК}(48; 90) = 720\).
