Страница 167 номер 965, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел: а) 923 и 403; б) 4224 и 1826.
а)
\[923 = 2 \cdot 403 + 117,\]
\[403 = 3 \cdot 117 + 52,\]
\[117 = 2 \cdot 52 + 13,\]
\[52 = 4 \cdot 13.\]
Последний ненулевой остаток равен 13, значит, \(\mathrm{НОД}(923; 403) = 13\).
Проверка: \(923 = 13 \cdot 71\) и \(403 = 13 \cdot 31\) — оба числа делятся на 13.
б)
\[4224 = 2 \cdot 1826 + 572,\]
\[1826 = 3 \cdot 572 + 110,\]
\[572 = 5 \cdot 110 + 22,\]
\[110 = 5 \cdot 22.\]
Последний ненулевой остаток равен 22, значит, \(\mathrm{НОД}(4224; 1826) = 22\).
Проверка: \(4224 = 22 \cdot 192\) и \(1826 = 22 \cdot 83\) — оба числа делятся на 22.
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(923; 403) = 13\); б) \(\mathrm{НОД}(4224; 1826) = 22\).
Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел: а) 923 и 403; б) 4224 и 1826.
а) Разделим 923 на 403 с остатком:
\[923 = 2 \cdot 403 + 117.\]
Следовательно, наибольший общий делитель чисел 923 и 403 равен наибольшему общему делителю чисел 403 и 117.
Продолжим делить числа с остатком до тех пор, пока не произойдёт деление нацело:
\[403 = 3 \cdot 117 + 52,\]
\[117 = 2 \cdot 52 + 13,\]
\[52 = 4 \cdot 13.\]
Последний ненулевой остаток равен 13, значит, \(\mathrm{НОД}(923; 403) = 13\).
Проверка: \(923 = 13 \cdot 71\) и \(403 = 13 \cdot 31\) — оба числа делятся на 13.
б) Разделим 4224 на 1826 с остатком:
\[4224 = 2 \cdot 1826 + 572.\]
Следовательно, наибольший общий делитель чисел 4224 и 1826 равен наибольшему общему делителю чисел 1826 и 572.
Продолжим делить числа с остатком до тех пор, пока не произойдёт деление нацело:
\[1826 = 3 \cdot 572 + 110,\]
\[572 = 5 \cdot 110 + 22,\]
\[110 = 5 \cdot 22.\]
Последний ненулевой остаток равен 22, значит, \(\mathrm{НОД}(4224; 1826) = 22\).
Проверка: \(4224 = 22 \cdot 192\) и \(1826 = 22 \cdot 83\) — оба числа делятся на 22.
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(923; 403) = 13\); б) \(\mathrm{НОД}(4224; 1826) = 22\).
