Страница 161 номер 950, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В трёхзначном числе первую цифру переставили в конец. Оно уменьшилось на 108. Каким из данных чисел может быть равно исходное число:
1) 234; 2) 210; 3) 537; 4) 321?
Пусть \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\); после перестановки первой цифры в конец получится \(\overline{bca} = 100b + 10c + a\).
\[100a + 10b + c - (100b + 10c + a) = 108.\]
\[99a - 90b - 9c = 108; \qquad 11a - 10b - c = 12.\]
1) \(234\): \(11 \cdot 2 - 10 \cdot 3 - 4 = 22 - 30 - 4 = -12\), а нужно 12; \(342 - 234 = 108\) — число увеличилось, а не уменьшилось.
2) \(210\): \(11 \cdot 2 - 10 \cdot 1 - 0 = 22 - 10 = 12\) — равенство выполнено; \(210 - 102 = 108\).
3) \(537\): \(11 \cdot 5 - 10 \cdot 3 - 7 = 55 - 30 - 7 = 18\), а нужно 12; \(537 - 375 = 162\).
4) \(321\): \(11 \cdot 3 - 10 \cdot 2 - 1 = 33 - 20 - 1 = 12\) — равенство выполнено; \(321 - 213 = 108\).
Значит, условию удовлетворяют два из данных чисел.
Ответ: исходное число может быть равно 210 или 321.
В трёхзначном числе первую цифру переставили в конец. Оно уменьшилось на 108. Каким из данных чисел может быть равно исходное число:
1) 234; 2) 210; 3) 537; 4) 321?
Обозначим исходное число через \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — цифры и \(a \neq 0\). Если первую цифру переставить в конец, получится число \(\overline{bca} = 100b + 10c + a\).
По условию новое число меньше исходного на 108:
\[100a + 10b + c - (100b + 10c + a) = 108.\]
Приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 9:
\[99a - 90b - 9c = 108; \qquad 11a - 10b - c = 12.\]
Проверим каждое из данных чисел.
1) У числа 234 цифры \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), и \(11 \cdot 2 - 10 \cdot 3 - 4 = 22 - 30 - 4 = -12\), а требуется 12. После перестановки получится число 342, которое больше исходного: \(342 - 234 = 108\), то есть число не уменьшилось, а увеличилось на 108.
2) У числа 210 цифры \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 0\), и \(11 \cdot 2 - 10 \cdot 1 - 0 = 22 - 10 = 12\) — равенство выполнено. После перестановки получится число 102, и \(210 - 102 = 108\).
3) У числа 537 цифры \(a = 5\), \(b = 3\), \(c = 7\), и \(11 \cdot 5 - 10 \cdot 3 - 7 = 55 - 30 - 7 = 18\), а требуется 12. После перестановки получится число 375, и \(537 - 375 = 162\).
4) У числа 321 цифры \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\), и \(11 \cdot 3 - 10 \cdot 2 - 1 = 33 - 20 - 1 = 12\) — равенство выполнено. После перестановки получится число 213, и \(321 - 213 = 108\).
Значит, условию удовлетворяют два из данных чисел.
Ответ: исходное число может быть равно 210 или 321.
