Страница 150 номер 887, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Чему равно произведение \(\left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{9}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{16}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{289}\right)\)?
В знаменателях квадраты: \(4 = 2^2\), \(9 = 3^2\), …, \(289 = 17^2\) — 16 множителей, каждый разность квадратов:
\[1 - \frac{1}{4} = 1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}.\]
Так же \(1 - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\), …, \(1 - \frac{1}{289} = \frac{16}{17} \cdot \frac{18}{17}\).
У первых дробей числители сокращаются со знаменателями предыдущих — остаётся \(\frac{1}{17}\).
У вторых сокращаются знаменатели — остаётся \(\frac{18}{2} = 9\):
\[\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{16}{17} \cdot \frac{18}{17} = {} \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{16}{17}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{18}{17}\right) = \frac{1}{17} \cdot 9 = \frac{9}{17}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\dfrac{9}{17}\).
Чему равно произведение \(\left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{9}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{16}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{289}\right)\)?
В знаменателях дробей стоят квадраты натуральных чисел: \(4 = 2^2\), \(9 = 3^2\), \(16 = 4^2\) и так далее до \(289 = 17^2\). Значит, в произведении 16 множителей, и каждый из них — разность квадратов:
\[1 - \frac{1}{4} = 1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}.\]
Точно так же \(1 - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\), \(1 - \frac{1}{16} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}\) и так далее до \(1 - \frac{1}{289} = \frac{16}{17} \cdot \frac{18}{17}\).
Соберём в одну скобку первые дроби всех пар, а в другую — вторые. В первой скобке числитель каждой дроби сокращается со знаменателем предыдущей, и остаётся \(\frac{1}{17}\); во второй скобке знаменатель каждой дроби сокращается с числителем предыдущей, и остаётся \(\frac{18}{2} = 9\):
\[\begin{aligned} &\left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{9}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{289}\right) = {} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{16}{17} \cdot \frac{18}{17} = {} \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{16}{17}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{18}{17}\right) = \frac{1}{17} \cdot 9 = \frac{9}{17}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\dfrac{9}{17}\).
