Страница 149 номер 885, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все возможные пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 95.
Пусть \(m^2 - n^2 = 95\). Тогда \(m > n\), числа \(m - n\) и \(m + n\) натуральные и \((m - n)(m + n) = 95\).
\(95 = 5 \cdot 19\), числа 5 и 19 простые, поэтому у 95 всего четыре делителя: 1, 5, 19 и 95, а разложений два: \(95 = 1 \cdot 95\) и \(95 = 5 \cdot 19\).
Множитель \(m + n\) больше множителя \(m - n\) на \(2n\), значит, случаев тоже два.
\(m - n = 1\) и \(m + n = 95\): \(2n + 1 = 95\), откуда \(n = 47\) и \(m = 48\).
\(m - n = 5\) и \(m + n = 19\): \(2n + 5 = 19\), откуда \(n = 7\) и \(m = 12\).
Проверка: \(48^2 - 47^2 = 2304 - 2209 = 95\) и \(12^2 - 7^2 = 144 - 49 = 95\).
Ответ: 12 и 7; 48 и 47.
Найдите все возможные пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 95.
Пусть натуральные числа \(m\) и \(n\) таковы, что \(m^2 - n^2 = 95\). Тогда \(m > n\), и оба числа \(m - n\) и \(m + n\) натуральные. Разложим разность квадратов на множители:
\[(m - n)(m + n) = 95.\]
Значит, число 95 надо представить в виде произведения двух натуральных множителей. Так как \(95 = 5 \cdot 19\), а числа 5 и 19 простые, у числа 95 ровно четыре делителя: 1, 5, 19 и 95. Поэтому либо \(95 = 1 \cdot 95\), либо \(95 = 5 \cdot 19\) — других разложений нет.
Множитель \(m + n\) больше множителя \(m - n\), потому что их разность \((m + n) - (m - n) = 2n\) положительна. Значит, возможны только два случая.
Первый случай. \(m - n = 1\) и \(m + n = 95\). Тогда \(m = n + 1\), поэтому \((n + 1) + n = 95\), то есть \(2n + 1 = 95\), откуда \(n = 47\) и \(m = 48\).
Второй случай. \(m - n = 5\) и \(m + n = 19\). Тогда \(m = n + 5\), поэтому \((n + 5) + n = 19\), то есть \(2n + 5 = 19\), откуда \(n = 7\) и \(m = 12\).
Проверка: \(48^2 - 47^2 = 2304 - 2209 = 95\) и \(12^2 - 7^2 = 144 - 49 = 95\).
Ответ: 12 и 7; 48 и 47.
