Страница 149 номер 884, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Существуют ли натуральные числа \(m\) и \(n\), такие что: а) \(m^2 - n^2 = 2027\); б) \(m^2 - n^2 = 2026\)?
\(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\).
а) Возьмём соседние числа, \(m = n + 1\):
\[m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1.\]
\(2n + 1 = 2027\), откуда \(n = 1013\) и \(m = 1014\) — оба натуральные.
Проверка: \(1014^2 - 1013^2 = (1014 - 1013)(1014 + 1013) = 1 \cdot 2027 = 2027\).
Значит, такие числа существуют.
б) Пусть \(m^2 - n^2 = 2026\). Тогда \(m > n\), числа \(m - n\) и \(m + n\) натуральные и \((m - n)(m + n) = 2026\).
Сумма множителей \((m - n) + (m + n) = 2m\) чётна, поэтому множители либо оба нечётные, либо оба чётные.
Оба нечётные не подходят: \((2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1\) нечётно, а 2026 чётно.
Значит, оба чётные: \(m - n = 2k\), \(m + n = 2l\), тогда \(2026 = 2k \cdot 2l = 4kl\), откуда \(kl = 2026 : 4 = 506{,}5\) — не натуральное число.
Следовательно, таких \(m\) и \(n\) не существует.
Ответ: а) существуют, например \(m = 1014\) и \(n = 1013\); б) не существуют.
Существуют ли натуральные числа \(m\) и \(n\), такие что: а) \(m^2 - n^2 = 2027\); б) \(m^2 - n^2 = 2026\)?
Разность квадратов раскладывается на множители: \(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\).
а) Возьмём в качестве \(m\) и \(n\) два соседних натуральных числа, то есть положим \(m = n + 1\), и раскроем квадрат суммы:
\[m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1.\]
Подберём \(n\) так, чтобы \(2n + 1 = 2027\): отсюда \(2n = 2026\) и \(n = 1013\), а \(m = n + 1 = 1014\). Оба числа натуральные.
Проверка: \(1014^2 - 1013^2 = (1014 - 1013)(1014 + 1013) = 1 \cdot 2027 = 2027\).
Значит, такие натуральные числа существуют.
б) Пусть натуральные числа \(m\) и \(n\) таковы, что \(m^2 - n^2 = 2026\). Тогда \(m^2 > n^2\), поэтому \(m > n\), и оба числа \(m - n\) и \(m + n\) натуральные. Разложим разность квадратов на множители:
\[(m - n)(m + n) = 2026.\]
Сумма этих множителей \((m - n) + (m + n) = 2m\) — число чётное. Если бы один множитель был чётным, а другой нечётным, то и сумма была бы нечётной. Значит, множители либо оба нечётные, либо оба чётные.
Оба нечётные не подходят: такие множители записываются как \(m - n = 2k + 1\) и \(m + n = 2l + 1\) с целыми неотрицательными \(k\) и \(l\), а их произведение \((2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1\) нечётно, тогда как число 2026 чётное.
Значит, оба множителя чётные: \(m - n = 2k\) и \(m + n = 2l\), где \(k\) и \(l\) — натуральные числа. Тогда \(2026 = 2k \cdot 2l = 4kl\), откуда \(kl = 2026 : 4 = 506{,}5\). Но произведение натуральных чисел \(k\) и \(l\) — натуральное число, дробным оно быть не может.
Следовательно, натуральных чисел \(m\) и \(n\), для которых \(m^2 - n^2 = 2026\), не существует.
Ответ: а) существуют, например \(m = 1014\) и \(n = 1013\); б) не существуют.
