Страница 149 номер 883, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какое наименьшее натуральное число нужно прибавить к \(3^9 + 3^4\), чтобы получить куб натурального числа?
\(3^9 = (3^3)^3 = 27^3 = 19\,683\), поэтому \(3^9 + 3^4 = 19\,683 + 81 = 19\,764\).
Куб тем больше, чем больше само число, а \(19\,764\) больше \(27^3\), поэтому подойдёт только куб числа, большего 27; наименьший из них — \(28^3\).
\[\begin{aligned} &28^3 = (27 + 1)^3 = 27^3 + 3 \cdot 27^2 \cdot 1 + 3 \cdot 27 \cdot 1^2 + 1^3 = {} \\ &= 19\,683 + 2187 + 81 + 1 = 21\,952. \end{aligned}\]
\(21\,952 - 19\,764 = 2188\) — искомое число.
Проверка: \(19\,764 + 2188 = 21\,952 = 28^3\).
Ответ: 2188.
Какое наименьшее натуральное число нужно прибавить к \(3^9 + 3^4\), чтобы получить куб натурального числа?
Число \(3^9\) — куб натурального числа: \(3^9 = (3^3)^3 = 27^3 = 19\,683\), поэтому \(3^9 + 3^4 = 19\,683 + 81 = 19\,764\).
Прибавляя к числу \(19\,764\) натуральное число, получаем число, большее \(19\,764\), а значит, большее и \(27^3\). Куб натурального числа тем больше, чем больше само это число, поэтому получиться может только куб числа, большего 27, а наименьший из таких кубов — \(28^3\). Вычислим его по формуле куба суммы, представив 28 в виде \(27 + 1\):
\[\begin{aligned} &28^3 = (27 + 1)^3 = 27^3 + 3 \cdot 27^2 \cdot 1 + 3 \cdot 27 \cdot 1^2 + 1^3 = {} \\ &= 19\,683 + 2187 + 81 + 1 = 21\,952. \end{aligned}\]
Значит, прибавить нужно \(21\,952 - 19\,764 = 2188\).
Проверка: \(19\,764 + 2188 = 21\,952 = 28^3\).
Ответ: 2188.
