Страница 149 номер 882, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано выражение \(2x^2 + 16x + 44\).
а) Чему равно наименьшее значение этого выражения?
б) При каком значении переменной оно достигается?
а) Вынесем 2 за скобки: \(2x^2 + 16x + 44 = 2(x^2 + 8x + 22)\).
\(8x = 2 \cdot x \cdot 4\), поэтому до полного квадрата не хватает \(4^2 = 16\):
\[x^2 + 8x + 22 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 16 - 16 + 22 = (x + 4)^2 + 6.\]
\[2x^2 + 16x + 44 = 2\left((x + 4)^2 + 6\right) = 2(x + 4)^2 + 12.\]
Квадрат двучлена неотрицателен, поэтому значение выражения \(2(x + 4)^2 + 12\) при любом \(x\) не меньше 12: наименьшее значение равно 12.
б) Наименьшее значение достигается, когда \((x + 4)^2 = 0\), то есть при \(x = -4\).
Ответ: а) 12; б) при \(x = -4\).
Дано выражение \(2x^2 + 16x + 44\).
а) Чему равно наименьшее значение этого выражения?
б) При каком значении переменной оно достигается?
а) Коэффициент при \(x^2\) равен 2, и квадратом одночлена слагаемое \(2x^2\) не является, поэтому вынесем 2 за скобки:
\[2x^2 + 16x + 44 = 2(x^2 + 8x + 22).\]
Определим, какое число нужно прибавить к выражению \(x^2 + 8x\), чтобы получился полный квадрат. Слагаемое \(x^2\) — квадрат, а \(8x = 2 \cdot x \cdot 4\) — удвоенное произведение \(x\) и 4, следовательно, число должно быть равно \(4^2 = 16\). Прибавим и вычтем недостающее число:
\[x^2 + 8x + 22 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 16 - 16 + 22 = (x + 4)^2 + 6.\]
Умножим полученное выражение на 2:
\[2x^2 + 16x + 44 = 2\left((x + 4)^2 + 6\right) = 2(x + 4)^2 + 12.\]
Квадрат двучлена принимает только неотрицательные значения, поэтому значение выражения \(2(x + 4)^2 + 12\) при любом значении \(x\) не меньше 12. Наименьшее значение выражения равно 12.
б) Наименьшее значение достигается, когда \((x + 4)^2 = 0\), то есть при \(x = -4\).
Ответ: а) 12; б) при \(x = -4\).
