Страница 149 номер 881, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите пару натуральных чисел \(a\) и \(b\), для которых справедливо равенство \(2 \cdot 2036^2 + 2 \cdot 2037^2 = a^2 + b^2\).
\[(x + y)^2 + (x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2.\]
При \(x = 2037\) и \(y = 2036\):
\[2 \cdot 2037^2 + 2 \cdot 2036^2 = (2037 + 2036)^2 + (2037 - 2036)^2 = 4073^2 + 1^2.\]
Слагаемые переставимы, поэтому \(2 \cdot 2036^2 + 2 \cdot 2037^2 = 4073^2 + 1^2\), и натуральные числа 4073 и 1 — искомая пара.
Ответ: \(a = 4073\), \(b = 1\).
Найдите пару натуральных чисел \(a\) и \(b\), для которых справедливо равенство \(2 \cdot 2036^2 + 2 \cdot 2037^2 = a^2 + b^2\).
Раскроем скобки в сумме квадратов суммы и разности двух чисел \(x\) и \(y\):
\[(x + y)^2 + (x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2.\]
Удвоенная сумма квадратов двух чисел равна сумме квадратов их суммы и их разности. Подставим \(x = 2037\) и \(y = 2036\):
\[2 \cdot 2037^2 + 2 \cdot 2036^2 = (2037 + 2036)^2 + (2037 - 2036)^2 = 4073^2 + 1^2.\]
От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому \(2 \cdot 2036^2 + 2 \cdot 2037^2 = 4073^2 + 1^2\). Числа 4073 и 1 натуральные, значит, они и составляют искомую пару.
Ответ: \(a = 4073\), \(b = 1\).
