Страница 149 номер 880, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какое наименьшее натуральное число надо прибавить к сумме \(2^{17} + 4^{17}\), чтобы получить квадрат целого числа? Ответ можно записать в виде числового выражения.
\(4^{17} = (2^2)^{17} = 2^{34} = (2^{17})^2\) — квадрат первого слагаемого.
Обозначим \(a = 2^{17}\), тогда сумма равна \(a^2 + a\).
\(0 < a < 2a + 1\), поэтому \(a^2 < a^2 + a < a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\), а между \(a^2\) и \((a + 1)^2\) квадратов целых чисел нет.
Прибавление натурального числа увеличивает сумму, поэтому квадрат больше \(a^2\), то есть не меньше \((a + 1)^2\); наименьшая прибавка даёт ровно \((a + 1)^2\):
\[(a + 1)^2 - (a^2 + a) = a^2 + 2a + 1 - a^2 - a = a + 1.\]
\(a + 1 = 2^{17} + 1 = 131\,073\).
Ответ: \(2^{17} + 1\), то есть \(131\,073\).
Какое наименьшее натуральное число надо прибавить к сумме \(2^{17} + 4^{17}\), чтобы получить квадрат целого числа? Ответ можно записать в виде числового выражения.
Второе слагаемое суммы — квадрат первого: \(4^{17} = (2^2)^{17} = 2^{34} = (2^{17})^2\).
Обозначим натуральное число \(2^{17}\) буквой \(a\). Тогда данная сумма равна \(a^2 + a\).
Квадраты соседних натуральных чисел \(a\) и \(a + 1\) равны \(a^2\) и \((a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1\), а между самими числами \(a\) и \(a + 1\) целых чисел нет — значит, нет и квадратов целых чисел между \(a^2\) и \((a + 1)^2\).
Сумма \(a^2 + a\) больше, чем \(a^2\), и меньше, чем \(a^2 + 2a + 1\), потому что \(0 < a < 2a + 1\). Прибавление натурального числа только увеличивает эту сумму, поэтому получившийся квадрат целого числа больше \(a^2\), а тогда он не меньше \((a + 1)^2\). Наименьшее прибавляемое число получается, когда квадрат равен ровно \((a + 1)^2\):
\[(a + 1)^2 - (a^2 + a) = a^2 + 2a + 1 - a^2 - a = a + 1.\]
Значит, прибавить надо число \(a + 1 = 2^{17} + 1 = 131\,073\).
Ответ: \(2^{17} + 1\), то есть \(131\,073\).
