Страница 149 номер 875, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(-26x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0\).
\(-26x^3 = -27x^3 + x^3\), перегруппируем слагаемые:
\[-27x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 0.\]
В скобках куб суммы: \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = (x + 1)^3\), а \(27x^3 = (3x)^3\).
\[(x + 1)^3 - (3x)^3 = 0;\]
\[(x + 1 - 3x)\left((x + 1)^2 + (x + 1) \cdot 3x + (3x)^2\right) = 0;\]
\[(1 - 2x)(x^2 + 2x + 1 + 3x^2 + 3x + 9x^2) = 0;\]
\[(1 - 2x)(13x^2 + 5x + 1) = 0.\]
\(1 - 2x = 0\), откуда \(2x = 1\) и \(x = \frac{1}{2}\).
Второй множитель нулём быть не может. Умножим его на 52 — старший член станет квадратом \(26x\):
\[\begin{aligned} &52(13x^2 + 5x + 1) = 676x^2 + 260x + 52 = {} \\ &= (26x)^2 + 2 \cdot 26x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 + 52 = (26x + 5)^2 + 27. \end{aligned}\]
Квадрат двучлена неотрицателен, поэтому \(52(13x^2 + 5x + 1) = (26x + 5)^2 + 27\) не меньше 27: трёхчлен \(13x^2 + 5x + 1\) положителен при любом \(x\) и нулю не равен, корень единственный.
Ответ: \(\dfrac{1}{2}\).
Решите уравнение \(-26x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0\).
Представим одночлен \(-26x^3\) в виде суммы \(-27x^3 + x^3\) и перегруппируем слагаемые:
\[-27x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 0.\]
В скобках стоит куб суммы: \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = (x + 1)^3\), а одночлен \(27x^3\) — это куб одночлена \(3x\). Уравнение принимает вид
\[(x + 1)^3 - (3x)^3 = 0.\]
Применим формулу разности кубов, подставив в неё \(x + 1\) и \(3x\):
\[(x + 1 - 3x)\left((x + 1)^2 + (x + 1) \cdot 3x + (3x)^2\right) = 0;\]
\[(1 - 2x)(x^2 + 2x + 1 + 3x^2 + 3x + 9x^2) = 0;\]
\[(1 - 2x)(13x^2 + 5x + 1) = 0.\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей.
Из уравнения \(1 - 2x = 0\) получаем \(2x = 1\), то есть \(x = \frac{1}{2}\).
Второй множитель нулём быть не может. Умножим его на 52: старший член станет квадратом одночлена \(26x\), и полный квадрат выделится без дробей.
\[\begin{aligned} &52(13x^2 + 5x + 1) = 676x^2 + 260x + 52 = {} \\ &= (26x)^2 + 2 \cdot 26x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 + 52 = (26x + 5)^2 + 27. \end{aligned}\]
Квадрат двучлена принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение выражения \((26x + 5)^2 + 27\) равно 27. Значит, выражение \(52(13x^2 + 5x + 1)\) положительно при любом значении \(x\), а вместе с ним положителен и трёхчлен \(13x^2 + 5x + 1\): нулю он не равен ни при каком значении \(x\).
Следовательно, уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(\dfrac{1}{2}\).
