Страница 149 номер 874, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = 9c + 9\).
Левая часть — куб суммы: \(c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = c^3 + 3 \cdot c^2 \cdot 1 + 3 \cdot c \cdot 1^2 + 1^3 = (c + 1)^3\).
В правой части вынесем 9: \(9c + 9 = 9(c + 1)\).
\[(c + 1)^3 = 9(c + 1);\]
\[(c + 1)^3 - 9(c + 1) = 0;\]
\[(c + 1)\left((c + 1)^2 - 9\right) = 0.\]
\((c + 1)^2 - 3^2 = (c + 1 - 3)(c + 1 + 3) = (c - 2)(c + 4)\), поэтому
\[(c + 1)(c - 2)(c + 4) = 0.\]
\(c + 1 = 0\), \(c - 2 = 0\) или \(c + 4 = 0\), откуда \(c = -1\), \(c = 2\), \(c = -4\).
Ответ: \(-4\); \(-1\); 2.
Решите уравнение \(c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = 9c + 9\).
В левой части уравнения стоит куб суммы: \(c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = c^3 + 3 \cdot c^2 \cdot 1 + 3 \cdot c \cdot 1^2 + 1^3 = (c + 1)^3\). В правой части вынесем общий множитель 9 за скобки: \(9c + 9 = 9(c + 1)\).
Уравнение принимает вид
\[(c + 1)^3 = 9(c + 1).\]
Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(c + 1\) за скобки:
\[(c + 1)^3 - 9(c + 1) = 0;\]
\[(c + 1)\left((c + 1)^2 - 9\right) = 0.\]
К выражению в скобках применим формулу разности квадратов, подставив в неё \(c + 1\) и 3: \((c + 1)^2 - 3^2 = (c + 1 - 3)(c + 1 + 3) = (c - 2)(c + 4)\). Уравнение записывается в виде произведения трёх множителей:
\[(c + 1)(c - 2)(c + 4) = 0.\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей: \(c + 1 = 0\), или \(c - 2 = 0\), или \(c + 4 = 0\). Следовательно, \(c = -1\), \(c = 2\) или \(c = -4\).
Ответ: \(-4\); \(-1\); 2.
