Страница 149 номер 873, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(b^3 + 2b^2 + 2b + 1 = 0\).
Сгруппируем крайние слагаемые, а из двух средних вынесем \(2b\):
\[b^3 + 2b^2 + 2b + 1 = (b^3 + 1^3) + 2b(b + 1).\]
\[\begin{aligned} &(b^3 + 1^3) + 2b(b + 1) = (b + 1)(b^2 - b \cdot 1 + 1^2) + 2b(b + 1) = {} \\ &= (b + 1)(b^2 - b + 1 + 2b) = (b + 1)(b^2 + b + 1). \end{aligned}\]
\[(b + 1)(b^2 + b + 1) = 0.\]
\(b + 1 = 0\), откуда \(b = -1\).
Второй множитель нулём быть не может: \(b = 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2}\), поэтому до полного квадрата не хватает \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\).
\[b^2 + b + 1 = b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.\]
Квадрат двучлена неотрицателен, поэтому наименьшее значение \(\left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\) равно \(\frac{3}{4}\): нулю оно не равно ни при каком \(b\), и корень единственный.
Ответ: \(-1\).
Решите уравнение \(b^3 + 2b^2 + 2b + 1 = 0\).
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем крайние слагаемые, а из двух средних вынесем общий множитель \(2b\):
\[b^3 + 2b^2 + 2b + 1 = (b^3 + 1^3) + 2b(b + 1).\]
К сумме кубов применим формулу суммы кубов, подставив в неё \(b\) и 1, а затем вынесем общий множитель \(b + 1\) за скобки:
\[\begin{aligned} &(b^3 + 1^3) + 2b(b + 1) = (b + 1)(b^2 - b \cdot 1 + 1^2) + 2b(b + 1) = {} \\ &= (b + 1)(b^2 - b + 1 + 2b) = (b + 1)(b^2 + b + 1). \end{aligned}\]
Уравнение принимает вид
\[(b + 1)(b^2 + b + 1) = 0.\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей.
Из уравнения \(b + 1 = 0\) получаем \(b = -1\).
Второй множитель нулём быть не может. Выделим в нём полный квадрат: \(b^2\) — квадрат, а \(b = 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2}\) — удвоенное произведение \(b\) и \(\frac{1}{2}\), поэтому недостающее число равно \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\). Прибавим и вычтем его:
\[b^2 + b + 1 = b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.\]
Квадрат двучлена принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение выражения \(\left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\) равно \(\frac{3}{4}\), и нулю это выражение не равно ни при каком значении \(b\).
Следовательно, уравнение имеет единственный корень \(b = -1\).
Ответ: \(-1\).
