Страница 149 номер 872, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Разложим на множители числитель дроби. Запишем его члены в другом порядке (\(y^2x = xy^2\)) и сгруппируем их по два:
\[\begin{aligned} &x^3 + y^2x + x^2y + y^3 = (x^3 + x^2y) + (xy^2 + y^3) = {} \\ &= x^2(x + y) + y^2(x + y) = (x + y)(x^2 + y^2). \end{aligned}\]

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(xy\) и применим формулу суммы кубов:
\[x^4y + xy^4 = xy(x^3 + y^3) = xy(x + y)(x^2 - xy + y^2).\]

Значение \(x + y = -7\) отлично от нуля, поэтому дробь можно сократить на множитель \(x + y\):
\[\frac{x^3 + y^2x + x^2y + y^3}{x^4y + xy^4} = \frac{(x + y)(x^2 + y^2)}{xy(x + y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x^2 + y^2}{xy(x^2 - xy + y^2)}.\]

По формуле квадрата суммы \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), откуда
\[x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (-7)^2 - 2 \cdot 12 = 49 - 24 = 25.\]

Тогда \(x^2 - xy + y^2 = 25 - 12 = 13\) — из суммы квадратов вычли произведение \(xy\).

Подставим найденные значения в дробь:
\[\frac{x^2 + y^2}{xy(x^2 - xy + y^2)} = \frac{25}{12 \cdot 13} = \frac{25}{156}.\]

Ответ: \(\frac{25}{156}\).