Страница 149 номер 871, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Данное выражение получено из квадрата многочлена, поэтому свернём его по формуле квадрата суммы.

Член \((2x + 1)^4\) — квадрат выражения \((2x + 1)^2\), так как \((2x + 1)^4 = ((2x + 1)^2)^2\). Член \(4y^2\) — квадрат одночлена \(2y\). Третий член — их удвоенное произведение: \(2 \cdot (2x + 1)^2 \cdot 2y = 4(2x + 1)^2 \cdot y\).

Значит, данное выражение — квадрат суммы выражений \((2x + 1)^2\) и \(2y\):
\[(2x + 1)^4 + 4y^2 + 4(2x + 1)^2 \cdot y = ((2x + 1)^2 + 2y)^2.\]

В квадрат возвели многочлен \((2x + 1)^2 + 2y\). Приведём его к стандартному виду: по формуле квадрата суммы \((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\), поэтому этот многочлен равен \(4x^2 + 4x + 2y + 1\).

Квадраты противоположных многочленов равны, поэтому условию удовлетворяет и многочлен \(-4x^2 - 4x - 2y - 1\).

Проверка:
\[\begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2y + 1)^2 = ((2x + 1)^2 + 2y)^2 = {} \\ &= (2x + 1)^4 + 2 \cdot (2x + 1)^2 \cdot 2y + (2y)^2 = (2x + 1)^4 + 4(2x + 1)^2 \cdot y + 4y^2. \end{aligned}\]

Ответ: \(4x^2 + 4x + 2y + 1\) или противоположный ему многочлен \(-4x^2 - 4x - 2y - 1\).