Страница 149 номер 870, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите четыре простых делителя числа \(12^{16} - 1\).
\[\begin{aligned} &12^{16} - 1 = (12^8)^2 - 1^2 = (12^8 - 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= ((12^4)^2 - 1^2)(12^8 + 1) = (12^4 - 1)(12^4 + 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= ((12^2)^2 - 1^2)(12^4 + 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= (12^2 - 1)(12^2 + 1)(12^4 + 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= (12 - 1)(12 + 1)(12^2 + 1)(12^4 + 1)(12^8 + 1). \end{aligned}\]
Первые три множителя: \(12 - 1 = 11\), \(12 + 1 = 13\), \(12^2 + 1 = 145 = 5 \cdot 29\).
Числа 5, 11, 13 и 29 простые, и каждое делит один из множителей, а значит, и число \(12^{16} - 1\).
Ответ: 5, 11, 13 и 29.
Найдите четыре простых делителя числа \(12^{16} - 1\).
Разложим число на множители, применив несколько раз формулу разности квадратов:
\[\begin{aligned} &12^{16} - 1 = (12^8)^2 - 1^2 = (12^8 - 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= ((12^4)^2 - 1^2)(12^8 + 1) = (12^4 - 1)(12^4 + 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= ((12^2)^2 - 1^2)(12^4 + 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= (12^2 - 1)(12^2 + 1)(12^4 + 1)(12^8 + 1) = {} \\ &= (12 - 1)(12 + 1)(12^2 + 1)(12^4 + 1)(12^8 + 1). \end{aligned}\]
Первые три множителя — небольшие числа: \(12 - 1 = 11\), \(12 + 1 = 13\), а \(12^2 + 1 = 145 = 5 \cdot 29\).
Числа 5, 11, 13 и 29 простые: 5 делится только на 1 и на 5, а 11, 13 и 29 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5 и других делителей, кроме единицы и самого числа, не имеют.
Каждое из этих чисел — делитель одного из множителей, а значит, и делитель всего произведения \(12^{16} - 1\).
Ответ: 5, 11, 13 и 29.
