Страница 149 номер 869, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано выражение \(2x^2 + 8x + 14\).
а) Чему равно наименьшее значение этого выражения?
б) При каком значении переменной оно достигается?
а) \(x^2 + 4x\) дополняется до полного квадрата числом \(2^2 = 4\), ведь \(4x = 2 \cdot x \cdot 2\).
\[2x^2 + 8x + 14 = 2(x^2 + 4x + 7) = 2(x^2 + 4x + 4 - 4 + 7) = 2((x + 2)^2 + 3) = 2(x + 2)^2 + 6.\]
Квадрат двучлена неотрицателен, поэтому \(2(x + 2)^2 \geqslant 0\) и значение выражения не меньше 6 — это и есть наименьшее значение.
б) Оно достигается, когда \((x + 2)^2 = 0\), то есть при \(x = -2\).
Ответ: а) 6; б) при \(x = -2\).
Дано выражение \(2x^2 + 8x + 14\).
а) Чему равно наименьшее значение этого выражения?
б) При каком значении переменной оно достигается?
а) Вынесем за скобки общий множитель 2 и выделим в скобках полный квадрат. Выражение \(x^2 + 4x\) дополняется до полного квадрата числом \(2^2 = 4\), потому что \(4x = 2 \cdot x \cdot 2\). Прибавим и вычтем это число:
\[2x^2 + 8x + 14 = 2(x^2 + 4x + 7) = 2(x^2 + 4x + 4 - 4 + 7) = 2((x + 2)^2 + 3) = 2(x + 2)^2 + 6.\]
Квадрат двучлена принимает только неотрицательные значения, поэтому \(2(x + 2)^2 \geqslant 0\) и значение выражения при любом значении \(x\) не меньше 6. Наименьшее значение выражения равно 6.
б) Наименьшее значение достигается, когда \((x + 2)^2 = 0\), то есть при \(x = -2\).
Ответ: а) 6; б) при \(x = -2\).
