Страница 149 номер 866, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях переменной \(x\) выражение \((x - 2)^4 - 4^4\) равно нулю?
\((x - 2)^4 = ((x - 2)^2)^2\) и \(4^4 = (4^2)^2 = 16^2\) — оба члена квадраты.
\[(x - 2)^4 - 4^4 = ((x - 2)^2)^2 - 16^2 = ((x - 2)^2 - 16)((x - 2)^2 + 16).\]
В первой скобке снова разность квадратов, ведь \(16 = 4^2\): \((x - 2)^2 - 4^2 = (x - 2 - 4)(x - 2 + 4) = (x - 6)(x + 2)\).
\[(x - 2)^4 - 4^4 = (x - 6)(x + 2)((x - 2)^2 + 16).\]
Третий множитель нулём быть не может: наименьшее значение \((x - 2)^2 + 16\) равно 16.
Остаются \(x - 6 = 0\) или \(x + 2 = 0\), откуда \(x = 6\) или \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 6.
При каких значениях переменной \(x\) выражение \((x - 2)^4 - 4^4\) равно нулю?
Разложим выражение на множители. Оба его члена — квадраты: \((x - 2)^4 = ((x - 2)^2)^2\) и \(4^4 = (4^2)^2 = 16^2\).
Применим формулу разности квадратов:
\[(x - 2)^4 - 4^4 = ((x - 2)^2)^2 - 16^2 = ((x - 2)^2 - 16)((x - 2)^2 + 16).\]
В первой скобке снова получилась разность квадратов, ведь \(16 = 4^2\):
\[(x - 2)^2 - 4^2 = (x - 2 - 4)(x - 2 + 4) = (x - 6)(x + 2).\]
Значит, выражение раскладывается на три множителя:
\[(x - 2)^4 - 4^4 = (x - 6)(x + 2)((x - 2)^2 + 16).\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей. Квадрат двучлена принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение выражения \((x - 2)^2 + 16\) равно 16, и третий множитель нулём быть не может.
Остаются два случая: \(x - 6 = 0\) или \(x + 2 = 0\), откуда \(x = 6\) или \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 6.
