Страница 149 номер 865, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте многочлен \(2x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 - x - 1\) как произведение трёх многочленов.
\[\begin{aligned} &2x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 - x - 1 = (2x^5 - 2x^2) + (x^4 - x) + (x^3 - 1) = {} \\ &= 2x^2(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + (x^3 - 1) = (x^3 - 1)(2x^2 + x + 1). \end{aligned}\]
Первый множитель — разность кубов: \(x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)\).
\[2x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 - x - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(2x^2 + x + 1).\]
Ответ: \((x - 1)(x^2 + x + 1)(2x^2 + x + 1)\).
Представьте многочлен \(2x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 - x - 1\) как произведение трёх многочленов.
Сгруппируем члены многочлена так, чтобы в каждой группе появился общий множитель:
\[\begin{aligned} &2x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 - x - 1 = {} \\ &= (2x^5 - 2x^2) + (x^4 - x) + (x^3 - 1) = {} \\ &= 2x^2(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + (x^3 - 1) = (x^3 - 1)(2x^2 + x + 1). \end{aligned}\]
Первый множитель — разность кубов. Применим формулу разности кубов, подставив в неё \(a = x\) и \(b = 1\):
\[x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1).\]
Следовательно, данный многочлен равен произведению трёх многочленов:
\[2x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 - x - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(2x^2 + x + 1).\]
Ответ: \((x - 1)(x^2 + x + 1)(2x^2 + x + 1)\).
