Страница 148 номер 862, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение \((a^3 - b^6)(a^3 + b^6) + (a^4 - a^2b^4 + b^8)(a^2 + b^4)\) в виде многочлена стандартного вида.
\[(a^3 - b^6)(a^3 + b^6) = (a^3)^2 - (b^6)^2 = a^6 - b^{12}.\]
Множитель \(a^4 - a^2b^4 + b^8\) — неполный квадрат разности \(a^2\) и \(b^4\):
\[\begin{aligned} &(a^4 - a^2b^4 + b^8)(a^2 + b^4) = (a^2 + b^4)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^4 + (b^4)^2) = {} \\ &= (a^2)^3 + (b^4)^3 = a^6 + b^{12}. \end{aligned}\]
\[(a^6 - b^{12}) + (a^6 + b^{12}) = a^6 - b^{12} + a^6 + b^{12} = 2a^6.\]
Члены \(-b^{12}\) и \(b^{12}\) взаимно уничтожились.
Ответ: \(2a^6\).
Представьте выражение \((a^3 - b^6)(a^3 + b^6) + (a^4 - a^2b^4 + b^8)(a^2 + b^4)\) в виде многочлена стандартного вида.
Первое слагаемое — произведение разности и суммы выражений \(a^3\) и \(b^6\), поэтому к нему применима формула разности квадратов:
\[(a^3 - b^6)(a^3 + b^6) = (a^3)^2 - (b^6)^2 = a^6 - b^{12}.\]
Во втором слагаемом множитель \(a^2 + b^4\) — сумма выражений \(a^2\) и \(b^4\), а множитель \(a^4 - a^2b^4 + b^8\) — неполный квадрат их разности: \(a^4 = (a^2)^2\), \(b^8 = (b^4)^2\), а средний член равен произведению \(a^2 \cdot b^4\), взятому со знаком минус. Применим формулу суммы кубов:
\[\begin{aligned} &(a^4 - a^2b^4 + b^8)(a^2 + b^4) = (a^2 + b^4)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^4 + (b^4)^2) = {} \\ &= (a^2)^3 + (b^4)^3 = a^6 + b^{12}. \end{aligned}\]
Сложим полученные многочлены — члены \(-b^{12}\) и \(b^{12}\) взаимно уничтожатся:
\[(a^6 - b^{12}) + (a^6 + b^{12}) = a^6 - b^{12} + a^6 + b^{12} = 2a^6.\]
Ответ: \(2a^6\).
