Страница 148 номер 861, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение \((a - b + c + d)(a + b + c + d)\) в виде многочлена стандартного вида.
Квадрат суммы трёх слагаемых раскроем в два приёма: за первое выражение примем \(a + c\), за второе — \(d\).
\[\begin{aligned} &(a - b + c + d)(a + b + c + d) = ((a + c + d) - b)((a + c + d) + b) = (a + c + d)^2 - b^2 = {} \\ &= ((a + c) + d)^2 - b^2 = (a + c)^2 + 2 \cdot (a + c) \cdot d + d^2 - b^2 = {} \\ &= a^2 + 2ac + c^2 + 2ad + 2cd + d^2 - b^2. \end{aligned}\]
Расположим члены так, чтобы сначала шли квадраты, а затем удвоенные произведения.
Ответ: \(a^2 - b^2 + c^2 + d^2 + 2ac + 2ad + 2cd\).
Представьте выражение \((a - b + c + d)(a + b + c + d)\) в виде многочлена стандартного вида.
Сгруппируем в каждой скобке члены \(a\), \(c\) и \(d\): первая скобка равна \((a + c + d) - b\), а вторая — \((a + c + d) + b\).
Получилось произведение разности и суммы выражений \(a + c + d\) и \(b\), поэтому применим формулу разности квадратов:
\[(a - b + c + d)(a + b + c + d) = ((a + c + d) - b)((a + c + d) + b) = (a + c + d)^2 - b^2.\]
Квадрат суммы трёх слагаемых раскроем в два приёма: примем за первое выражение сумму \(a + c\), а за второе — \(d\).
\[(a + c + d)^2 - b^2 = ((a + c) + d)^2 - b^2 = (a + c)^2 + 2 \cdot (a + c) \cdot d + d^2 - b^2.\]
Остаётся раскрыть квадрат суммы \(a + c\) и скобки:
\[(a + c)^2 + 2 \cdot (a + c) \cdot d + d^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 + 2ad + 2cd + d^2 - b^2.\]
Подобных членов среди полученных нет, а расположить их удобно так, чтобы сначала шли квадраты, а затем удвоенные произведения: \(a^2 - b^2 + c^2 + d^2 + 2ac + 2ad + 2cd\).
Ответ: \(a^2 - b^2 + c^2 + d^2 + 2ac + 2ad + 2cd\).
