Страница 148 номер 858, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = 0\).
Левая часть — куб суммы \(x\) и 4:
\[x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3 = (x + 4)^3.\]
\((x + 4)^3 = 0\), значит, \(x + 4 = 0\) и \(x = -4\).
Проверка: \((-4)^3 + 12 \cdot (-4)^2 + 48 \cdot (-4) + 64 = -64 + 192 - 192 + 64 = 0\).
Ответ: \(-4\).
Решите уравнение \(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = 0\).
Левая часть уравнения — куб суммы выражений \(x\) и 4: первый член \(x^3\) — куб первого выражения, последний член \(64 = 4^3\) — куб второго, \(12x^2 = 3 \cdot x^2 \cdot 4\) — утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, а \(48x = 3 \cdot x \cdot 4^2\) — утроенное произведение первого выражения на квадрат второго. Свернём её по формуле куба суммы:
\[x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3 = (x + 4)^3.\]
Уравнение принимает вид \((x + 4)^3 = 0\). Куб равен нулю только тогда, когда нулю равно основание степени: \(x + 4 = 0\), откуда \(x = -4\).
Проверка: \((-4)^3 + 12 \cdot (-4)^2 + 48 \cdot (-4) + 64 = -64 + 192 - 192 + 64 = 0\).
Ответ: \(-4\).
