Страница 148 номер 856, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наименьшее значение выражения \(37x^2 + 12xy + y^2 + 8x + 16\) и значения переменных, при которых оно достигается.
\(12xy = 2 \cdot 6x \cdot y\), и для полного квадрата с \(y^2\) нужен член \((6x)^2 = 36x^2\) — разобьём \(37x^2\) на \(36x^2 + x^2\).
Во второй группе \(16 = 4^2\), \(8x = 2 \cdot x \cdot 4\):
\[37x^2 + 12xy + y^2 + 8x + 16 = (36x^2 + 12xy + y^2) + (x^2 + 8x + 16) = (6x + y)^2 + (x + 4)^2.\]
Каждый квадрат неотрицателен, поэтому \((6x + y)^2 + (x + 4)^2 \geqslant 0\) при любых \(x\) и \(y\), а нулю сумма равна только при \(x + 4 = 0\) и \(6x + y = 0\).
\(x = -4\), тогда \(6 \cdot (-4) + y = 0\), то есть \(-24 + y = 0\) и \(y = 24\).
Ответ: 0; при \(x = -4\) и \(y = 24\).
Найдите наименьшее значение выражения \(37x^2 + 12xy + y^2 + 8x + 16\) и значения переменных, при которых оно достигается.
Члены \(12xy\) и \(y^2\) подсказывают квадрат суммы выражений \(6x\) и \(y\): удвоенное произведение \(2 \cdot 6x \cdot y = 12xy\), а для полного квадрата нужен ещё член \((6x)^2 = 36x^2\). Разобьём одночлен \(37x^2\) на сумму \(36x^2 + x^2\) и сгруппируем слагаемые:
\[37x^2 + 12xy + y^2 + 8x + 16 = (36x^2 + 12xy + y^2) + (x^2 + 8x + 16).\]
Вторая скобка — тоже полный квадрат: \(16 = 4^2\), а \(8x = 2 \cdot x \cdot 4\) — удвоенное произведение \(x\) и 4. Свернём обе скобки:
\[(36x^2 + 12xy + y^2) + (x^2 + 8x + 16) = (6x + y)^2 + (x + 4)^2.\]
Каждый квадрат принимает только неотрицательные значения, поэтому \((6x + y)^2 + (x + 4)^2 \geqslant 0\) при любых \(x\) и \(y\).
Нулю такая сумма равна только тогда, когда нулю равен каждый из квадратов, то есть когда \(x + 4 = 0\) и \(6x + y = 0\). Из первого равенства \(x = -4\), тогда \(6 \cdot (-4) + y = 0\), то есть \(-24 + y = 0\) и \(y = 24\).
Наименьшее значение выражения равно 0, и достигается оно при \(x = -4\) и \(y = 24\).
Ответ: 0; при \(x = -4\) и \(y = 24\).
