Страница 148 номер 854, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \((2x - 1)^2 - 9 = 2x + 2\).
\[(2x - 1)^2 - 9 = (2x - 1)^2 - 3^2 = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3) = (2x - 4)(2x + 2).\]
\[\begin{aligned} &(2x - 4)(2x + 2) = 2x + 2; \\ &(2x - 4)(2x + 2) - (2x + 2) = 0; \\ &(2x + 2)(2x - 4 - 1) = 0; \\ &(2x + 2)(2x - 5) = 0. \end{aligned}\]
\(2x + 2 = 0\) или \(2x - 5 = 0\), откуда \(x = -1\) или \(x = 2{,}5\).
Проверка: при \(x = -1\) левая часть равна \((-2 - 1)^2 - 9 = 9 - 9 = 0\), правая — \(-2 + 2 = 0\); при \(x = 2{,}5\) левая часть равна \((5 - 1)^2 - 9 = 16 - 9 = 7\), правая — \(5 + 2 = 7\).
Ответ: \(-1\); \(2{,}5\).
Решите уравнение \((2x - 1)^2 - 9 = 2x + 2\).
Левая часть уравнения — разность квадратов выражений \(2x - 1\) и 3, ведь \(9 = 3^2\). Разложим её на множители:
\[(2x - 1)^2 - 9 = (2x - 1)^2 - 3^2 = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3) = (2x - 4)(2x + 2).\]
Уравнение принимает вид \((2x - 4)(2x + 2) = 2x + 2\). Перенесём правую часть в левую и вынесем общий множитель \(2x + 2\) за скобки:
\[\begin{aligned} &(2x - 4)(2x + 2) - (2x + 2) = 0; \\ &(2x + 2)(2x - 4 - 1) = 0; \\ &(2x + 2)(2x - 5) = 0. \end{aligned}\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей: \(2x + 2 = 0\) или \(2x - 5 = 0\). Из первого равенства \(2x = -2\) и \(x = -1\), из второго \(2x = 5\) и \(x = 2{,}5\).
Проверка: при \(x = -1\) левая часть равна \((-2 - 1)^2 - 9 = 9 - 9 = 0\), правая — \(-2 + 2 = 0\); при \(x = 2{,}5\) левая часть равна \((5 - 1)^2 - 9 = 16 - 9 = 7\), правая — \(5 + 2 = 7\).
Ответ: \(-1\); \(2{,}5\).
