Страница 148 номер 853, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение \(1 - x^2 - y^4 + 9a^2 - 6a + 2xy^2\) в виде произведения многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.
Сгруппируем члены с \(a\), а у остальных вынесем минус за скобки:
\[1 - x^2 - y^4 + 9a^2 - 6a + 2xy^2 = (9a^2 - 6a + 1) - (x^2 - 2xy^2 + y^4).\]
\(9a^2 = (3a)^2\), \(6a = 2 \cdot 3a \cdot 1\), поэтому \(9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2\).
\(y^4 = (y^2)^2\), \(2xy^2 = 2 \cdot x \cdot y^2\), поэтому \(x^2 - 2xy^2 + y^4 = (x - y^2)^2\).
Осталась разность квадратов:
\[(3a - 1)^2 - (x - y^2)^2 = (3a - 1 - x + y^2)(3a - 1 + x - y^2).\]
Оба множителя — многочлены второй степени с целыми коэффициентами.
Ответ: \((3a - 1 - x + y^2)(3a - 1 + x - y^2)\).
Представьте выражение \(1 - x^2 - y^4 + 9a^2 - 6a + 2xy^2\) в виде произведения многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.
Сгруппируем отдельно члены с переменной \(a\) и члены с переменными \(x\) и \(y\), вынеся у вторых знак минус за скобки:
\[1 - x^2 - y^4 + 9a^2 - 6a + 2xy^2 = (9a^2 - 6a + 1) - (x^2 - 2xy^2 + y^4).\]
В первой скобке \(9a^2 = (3a)^2\), \(1 = 1^2\), а средний член равен удвоенному произведению \(3a\) и 1: \(2 \cdot 3a \cdot 1 = 6a\). Значит, это квадрат разности: \(9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2\).
Во второй скобке \(y^4 = (y^2)^2\), а средний член равен удвоенному произведению \(x\) и \(y^2\): \(2 \cdot x \cdot y^2 = 2xy^2\). Значит, и она квадрат разности: \(x^2 - 2xy^2 + y^4 = (x - y^2)^2\).
Осталась разность квадратов выражений \(3a - 1\) и \(x - y^2\):
\[(3a - 1)^2 - (x - y^2)^2 = (3a - 1 - x + y^2)(3a - 1 + x - y^2).\]
Каждый из множителей — многочлен второй степени с целыми коэффициентами, то есть требование задачи выполнено.
Ответ: \((3a - 1 - x + y^2)(3a - 1 + x - y^2)\).
